Principios de geometría analítica y álgebra lineal.

Principios de Geometría Analítica y Álgebra Lineal.
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Principios de geometría analítica y álgebra lineal.
1. Espacio vectorial.
2. La línea recta.
3. Circunferencia.
4. Tangente a una curva.
5. Parábola.
6. Elipse.
7. Hipérbola.
8. Asíntotas.
9.Subtangente y subnormal.
10. Ecuación general de segundo grado.
11. Transformación de coordenadas.
12. Coordenadas polares.
13. Lugar geométrico.
14. Distancia de un punto a una recta.
15. El plano.
16. La esfera.
17. Superficies.
18. Tema de aplicación.
19. Referencias.
1.ESPACIO VECTORIAL.
Es un conjunto arbitrario diferente del vacío enel cual se han definido dos operaciones: adición y
producto por un número. Un conjunto es una colección de objetos que está bien definida, por definida,
entendemos que siempre es posible saber si un elemento o no pertenece a una colección o conjunto.
Algunos ejemplos de espacios vectoriales son:
Con las operaciones usuales los siguientes conjuntos se constituyen como espacios vectoriales:n
Matrices de n×n ; P(n) (polinomios), funciones continuas, IR (producto cartesiano). Por ahora
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consideraremos el conjunto IR = { (x, y) | ... } y veremos las siguientes operaciones:
Sea un vector ^u = (x1, y1) y ^v = (x2, y2) y k un escalar entonces definimos las siguientes operaciones:^u + ^v = (x1 + x2, y1 + y2) k^u = (kx1, ky1) ^u ·^v = x1 · x2 + y1 · y2
Y además se satisfacen los siguientes axiomas:
Sean vectores denotados como ^u, ^v y ^w y a, b, c escalares, entonces:
1) ^u + ^v = ^v + ^u
2) (^u + ^v )+ ^w = ^u + (^v + ^w)
3) ^u + 0 = 0 + ^u = ^u
4) ^u + ( - ^u) = 0
5) a(b^u) = (ab)^u = ^u(ab)
6) a(^u + ^v)= a^u + a^v
7) (a + b)^u = a^u + b^v
8) 1^u = ^u
9) ^u·^v = ^v·^u
10) ^u(^v + ^w) = ^u·^v + ^u·^w
11) c(^u^v) = (c^u)^v = ^u(c^v)
12) 0·^u = 0
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13) ^u·^u = |^u|
^u·^v = 0
14) Dos vectores son perpendiculares
Luis Antonio Fernández Aldana0
Principios de Geometría Analítica y Álgebra Lineal.
En IR2 ó IR3 cuando consideramos un punto (x, y) cualquiera y lo representamos gráficamente en el
plano cartesiano trazando una línea de leal origen, recibe el nombre de vector de posición o vector
anclado. Además, si el vector^u es elemento de IR2, entonces ^u = (x, y).
En la siguiente gráfica ^u es un vector anclado, observemos los demás elementos que componen
dicha gráfica:
Y
(x, y)
^u
uyX
ux
Podemos observar que:
^u = ux + uy donde ux = (x, 0) y uy = (y, 0)
Denotamos como || ^u || a la distancia del origen al punto (x, y) denominada magnitud del vector ^u y
de donde obtenemos las siguientes conclusiones:
1⁄2
|| ^u|| = (x2 + y2)
Cos(θ) = x / || ^u ||
Sen(θ) = y / || ^u ||
Para un vector anclado ^u, ^ux representa su componente en la dirección x y ^uy representa
su componente en la dirección y.
La dirección de un vector de posición está dada por el ángulo que forma con el sentido
positivo del eje X.
2.LA LÍNEA RECTA.
2.1.Concepto de Línea...