Álgebra lineal y geometría

Notas del curso de

´
Algebra Lineal y Geometr´a
ı

CARLOS SANCHO DE SALAS

§1. PRIMERAS NOCIONES
A lo largo de todas estas notas k denotar´ cualquiera de los cuerpos Q, R o C.
a
1.1. Noci´n de espacio vectorial.
o
Definici´n 1.1. Dado un conjunto E, llamaremos estructura de k-espacio vectorial
o
en E a cualquier pareja de aplicaciones:
·

+

k × E →E

E × E →E

,
(λ, e)→λ · e
(e1 , e2 ) →e1 + e2
verificando las siguientes propiedades:
(A) E con la operaci´n + es un grupo conmutativo, es decir, + verifica:
o
(1) Es asociativa: (e1 + e2 ) + e3 = e1 + (e2 + e3 ) para todo e1 , e2 , e3 ∈ E.
(2) Existencia de elemento neutro: existe un elemento que denotaremos 0 ∈ E tal que
e + 0 = 0 + e = e para todo e ∈ E.
(3) Existencia de opuestos: para cada e ∈ E existeotro e tal que e + e = e + e = 0.
Denotaremos siempre por −e a cualquier opuesto de e.
(4) Es conmutativa: e1 + e2 = e2 + e1 para todo e1 , e2 ∈ E.
(B) E con la multiplicaci´n “·” por elementos de k verifica:
o
(1) Aditividad de la multiplicaci´n por escalares: λ · (e1 + e2 ) = λ · e1 + λ · e2 , para todo
o
e1 , e2 ∈ E y λ ∈ k.
(2) (λ + µ) · e = λ · e + µ · e, para todo e ∈ E y λ, µ ∈ k.(3) λ · (µ · e) = (λµ) · e, para todo e ∈ E y λ, µ ∈ k
(4) 1 · e = e, para todo e ∈ E, siendo 1 el n´mero 1 ∈ k.
u
Definici´n 1.2. Llamaremos k-espacio vectorial (o espacio vectorial sobre k) a cada
o
terna (E, +, ·) tal que (+, ·) es una estructura de k-espacios vectoriales en E.
Ejemplos 1.3.
(1) En k siempre consideraremos la estructura de espacio vectorial (sobre k) determinada por supropia suma y su propio producto (como multiplicaci´n por escalares).
o
(2) Dado un conjunto arbitrario X, denotaremos F (X) al conjunto de las funciones
de X con valores en k, es decir, el conjunto de las aplicaciones f : X → k. En el
conjunto de las funciones de X definiremos siempre la suma y la multiplicaci´n por
o
escalares por las f´rmulas:
o
def.

(f1 + f2 )(x) ==f1 (x) + f2 (x)
def.(λ · f )(x) ==λf (x)
para toda f, f1 , f2 : X → k funciones, λ ∈ k y x ∈ X. Se deja al lector comprobar
que dichas operaciones en F (X) definen una estructura de k-espacio vectorial en
F (X).
1

Nomenclatura: Si (E, +, ·) es un k-espacio vectorial, entonces a los elementos de E
se les denomina vectores y a los de k escalares.
Por no hacer abuso de notaci´n, a los k-espacios vectorialeslos denominaremos sin
o
m´s espacios vectoriales (sobreentendi´ndose sobre qu´ cuerpo k lo es) y en vez de escribir
a
e
e
(E, +, ·) para denotar a un espacio vectorial, escribiremos s´lo E, sobreentendi´ndose que
o
e
un espacio vectorial no es s´lo el conjunto E sino tambi´n la particular manera de sumar
o
e
vectores que tiene, as´ como la multiplicaci´n por escalares. Por ultimo, envez de escribir
ı
o
´
λ · e escribiremos habitualmente λe.
Propiedades: Si E es un espacio vectorial se verifica:
(1) El elemento neutro de la suma es unico. En efecto, si 0, 0 son dos neutros, entonces
´
0 = 0 + 0 = 0 , donde la primera igualdad es por ser 0 neutro y la segunda es por
serlo 0.
(2) Para cada vector e ∈ E, su opuesto es unico. En efecto, si e1 , e2 son dos opuestos
´
dee, entonces sumando e2 a los dos t´rminos de la igualdad e + e1 = 0 se obtiene
e
e2 + e + e1 = e2 , luego como e2 + e = 0 se concluye e1 = e2 . Al opuesto de e
lo denotaremos −e y dados dos vectores e1 , e2 ∈ E, cuando escribamos e1 − e2 se
querr´ decir e1 + (−e2 ). Es decir,
a
notaci´n
o

e1 − e2 ===== e1 + (−e2 )
(3) Para cada e ∈ E se verifica que
0·e=0
donde el primer 0 es el de k yel segundo el de E. En efecto, se tiene 0 · e + 0 · e =
(0 + 0) · e = 0 · e, luego restando (es decir, sumando el opuesto de) 0 · e a esta
igualdad resulta 0 · e = 0.
(4) Para cada λ ∈ k es
λ·0=0
donde ambos 0’s son el de E. En efecto, se verifica la igualdad λ · 0 = λ · (0 + 0) =
λ · 0 + λ · 0, luego restanto λ · 0 a la igualdad se obtiene 0 = λ · 0.
(5) Para cada vector e ∈ E se verifica...