Existencia Y Unicidad

Problema de Cauchy
Un Problema de Cauchy viene denido por una ecuación

x (t) = F(t, x(t))

o sistema de ecuaciones de primer orden y una condición

x(t0 ) = x0

inicial


x1 (t)
 . 
. 
t −→ x(t) = 
 . 
xn (t)
donde cada una de las funciones xi es una función real xi : IR −→ IR
La función incógnita x es una función x : IR −→

IRn



La función F que dene la ecuación es de la forma: F :IR × IRn −→

IRn

(t, z)
−→ F(t, z)
y los valores que denen la condición inicial (t0 , x0 ) ∈ IR × IRn son un punto del dominio de F.
Toda la teoría que vamos a estudiar en este curso se reere a Problemas de Cauchy. Sin embargo,
la restricción que esto supone solo afecta, en realidad, al tipo de condición que imponemos.
Pudiera parecer que la denición anterior excluye a las ecuaciones de ordenn pero, como vamos
a ver, esto no es así.

Problema de Cauchy para ecuaciones de orden n

Toda ecuación diferencial de orden n es equivalente a un sistema de n ecuaciones de primer orden
Sea la ecuación de orden n (por simplicidad supongamos que podemos despejar la derivada

n-sima explícitamente):
y n) (t) = f (t, y(t), y (t), . . . , y n−1) (t))
El sistema equivalente se obtiene deniendo las nvariables:

z1 = y,

z2 = y ,

z3 = y ,

. . . , zn−1 = y n−2) ,

zn = y n−1)

que serán las n componentes de la función incógnita del sistema, z : IR −→ IRn . Si observamos
que la derivada de cada una de las n − 1 primeras variables es justamente la siguiente y que la
derivada de zn es zn = y n) , dada por la ecuación diferencial original, tenemos para z la ecuación:

 
 

z2 (t)
z1 (t)
z1(t)

 
 


 z (t)   z (t)  
z
(t)
3
2

 
  2







d 
..
..
..
 = F(t, z(t))




=
=
z (t) =
.
.
.




dt 

 
 

 
 zn−1 (t)   z
z
(t)
(t)
n
n−1

 
 

f (t, z1 (t), z2 (t), . . . , zn−1 (t), zn (t))
zn (t)
zn (t)
1




z1 (t0 )


 z (t )
 2 0

..
Una condición inicial para este sistema será z(t0 ) = 
.


 zn−1 (t0 )

zn (t0 )


y(t0 )

 
  y (t )
0
 
 
..
=
.
 
  n−2)
  y
(t0 )
 
n−1)
y
(t0 )





, es decir:





Un problema de Cauchy para una ecuación diferencial de orden n viene dado por la ecuación y el
valor de la función incógnita, y , y sus n − 1 primeras derivadas, y , y , . . . , y n−1) , en un mismo
punto t0 .

Ejemplo: Los siguientes problemas son problemas de Cauchy:
x = sen x − t2x(0) = 1




 y +y =1
y(0) = 1


 y (0) = 0




 x =x−y
y = x2 − 2y + t


 x(0) = 1, y(0) = 0

Ejemplo: Los siguientes problemas no son problemas de Cauchy:
x = sen x − t2

y +y =1

x (0) = 1

y(0) = y (0)

x = sen x − t2
x(0) = 1, x(1) = 1




 x =x−y
y = x2 − 2y + t


 x(0) = 1, y(1) = 0




 y +y =1
y(0) = 1


 y (1) = 0




 x =x−y
y = x2 − 2y + t


 x(0) = 1,x (0) = 0

Ejemplo: Estudiemos las varios problemas de Cauchy para ver con qué situaciones podemos
encontrarnos:

(A)

y =y
y(0) = 1

La solución general de la ecuación es y(x) = Aex , A ∈ IR. Si imponemos
que se cumpla la condición inicial: 1 = y(0) = Ae0 = A, por lo que
tenemos la solución única y(x) = ex para el problema de Cauchy.

En este caso la solución está denida ∀x ∈ IR.


 y = −t
y(B)

y(0) = 0

La solución general implícita de la ecuación es y 2 (t) + t2 = C, C ∈ IR.
Si imponemos que se cumpla la condición inicial: y(0)2 + 02 = 0 = C ,
por lo que tenemos y 2 (t) + t2 = 0, cuya única solución y(t) = t = 0 no

dene ninguna función y(t), es decir, el problema de Cauchy no tiene solución.

2


 y = −t
y
(C)

y(1) = 0

Trabajando como antes llegamos a y 2 (t)+t2 = 1.Parece que hay dos po√
sibles soluciones y(t) = ± 1 − t2 al problema de Cauchy. Sin embargo,
ninguna de estas dos funciones es derivable en t = 1 por lo que

no pueden ser solución de un problema que comienza diciendo que la primera derivada de la
función debe valer... Concluimos, por tanto, que el problema de Cauchy no tiene solución.


 y = −t
y
(D)

y(0) = 1

√
De nuevo y 2 (t) + t2 = 1. De...