Explicación y resolución de ecuaciones de 2x2

GUÍA

DE

MATEMÁTICAS

III

Lección 14:
Problemas que se
resuelven por sistemas
de ecuaciones lineales
A continuación veremos algunos problemas que se resuelven con
sistemas de ecuaciones y algunos ejemplos de cómo plantear los
sistemas para poder resolver fácilmente los problemas.
Juan pagó $50 por 3 cajas de taquetes y 5 cajas de clavos.
Pedro compró 5 cajas de taquetes y 7 declavos y tuvo que
pagar $74. ¿Cuál es el precio de cada caja de taquetes y de
cada caja de clavos?

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LECCIÓN 14
Para plantear la solución de este problema, identificamos
en primer lugar aquello sobre lo que se nos pregunta, es decir:
¿qué debemos averiguar? En este caso debemos encontrar dos
cantidades, el precio de una caja de taquetes y el precio de
una caja de clavos.
En segundolugar debemos identificar las relaciones (o
condiciones) que sobre esas dos cantidades se plantean en el
problema. Si llamamos x al precio de una caja de taquetes y
llamamos y al precio de una caja de clavos, podemos expresar
lo que gastó Juan a través de una ecuación y lo que gastó Pedro
por medio de otra. Para ello analicemos la información que nos
presenta el problema y veamos cómoexpresar algebraicamente
las relaciones.
Información

Expresión algebraica

Precio de una caja de taquetes.
Precio de 3 cajas de taquetes.
Precio de 5 cajas de taquetes.

x pesos
3x pesos
5x pesos

Precio de una caja de clavos.
Precio de 5 cajas de clavos.
Precio de 7 cajas de clavos.

y pesos
3y pesos
5y pesos

Importe de la compra de Juan.
Importe de la compra de Pedro.

3x +5y = 50
5x + 7y = 74

Ahora ya podemos plantear y resolver el sistema:

{

3x +
5x +

5y =
7y =

50
74

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MATEMÁTICAS

III

Como los coeficientes son todos positivos, sabemos que
debemos restar para eliminar una de las incógnitas y como
todos son números distintos debemos efectuar primero las
multiplicaciones convenientes. Por ejemplo si queremoseliminar
la x, multiplicamos los dos miembros de la primera ecuación por
5 y los dos miembros de la segunda por 3 (si se quiere eliminar
la y, se debe multiplicar la primera ecuación por 7 y la segunda
por 5).
-

15x +
25y =
15x +
21y =
0 + 4y =

250
222
28

28

Entonces y = 4 =7, ahora sustituimos y por ese valor en la
primera ecuación y obtenemos el valor de x (también podríamoshaber sustituido en la segunda ecuación):
3x +
3x +

5y =
5(7) =
3x =
x =

50
50
50 – 35
15
=5
3

Podemos entonces decir que la caja de taquetes cuesta $5 y
la de clavos cuesta $7.
Enriqueta es costurera y quiere aprovechar una oferta de
botones. El paquete de botones blancos cuesta $15 y el
de botones negros $10. Si con $180.00 compró en total
14 paquetes, ¿cuánto gastó enbotones blancos?

164

LECCIÓN 14
Veremos dos maneras de plantear un sistema de ecuaciones
para este problema. Según la primera manera, podemos pensar
que para responder a la pregunta planteada nos puede ser útil
conocer cuántos paquetes de botones blancos compró Enriqueta.
Llamemos entonces x a la cantidad de paquetes de botones
blancos y, equivalentemente, llamemos y a la cantidad depaquetes de botones negros. Podemos entonces expresar
algebraicamente la cantidad total de paquetes comprados,
el costo de los paquetes de cada color y el total gastado, lo
que nos permitirá encontrar el dato que necesitamos para
resolver el problema.

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III

Información

Expresión algebraica

Cantidad de paquetes de botones blancos.
Cantidad pagada porlos botones blancos.

x
15x

Cantidad de paquetes de botones negros.
Cantidad pagada por los botones negros.

y
10y
x + y = 14
15x + 10y = 180

Total de paquetes comprados.
Importe de la compra.

Ahora ya podemos plantear el sistema de ecuaciones:

{

x + y
= 14
15x + 10y = 180

Como a nosotros nos interesa conocer x, igualaremos los
coeficientes de y. Es decir, para...