Física moderna

1 2
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CÁLCULO DE PRIMITIVAS

REFLEXIONA Y RESUELVE Concepto de primitiva
■ NÚMEROS Y POTENCIAS SENCILLAS

1

a) 1 dx = x

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

b) 2 dx = 2x x2 2

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

c) √2 dx = √2 x 3x 2 2

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

2

a) 2x dx = x 2 7x 2 2

b) x dx =

c) 3x dx =

3

a) 7x dx =

b)

x x2 dx = 3 6 x3 3 x6 6

c) √2x dx =

√ 2x 2
2 2x 3 3 3x 6 x6 = 6 2

—

4a) 3x 2 dx = x 3

b) x 2 dx =

c) 2x 2 dx =

5

a) 6x 5 dx = x 6

b) x 5 dx =

c) 3x 5 dx =

■ POTENCIAS DE EXPONENTE ENTERO

6

a) (–1) x –2 dx = x –1 = b) x –2 dx =

∫

1 x

∫

–1 x –1 = x –1 –5 x –1 x –2 = 2x 2 –2 –2 –1 = 2 2x 2 x

c)

∫x ∫

5
2

dx =

7

a)

1 dx = x3 2
3

∫

x –3 dx =

b)

∫x

dx = 2

∫x

1
3

dx =

Unidad 12.Cálculo de primitivas

1

8

a)

∫ (x – 3)
5

1

3

dx =

∫ (x – 3)
1

–3

dx =

–1 (x – 3)–2 = 2(x – 3)2 –2 –5 2(x – 3)2

b)

∫ (x – 3) ∫ 2x
3 3

3

dx = 5

∫ (x – 3)

3

dx =

■ LAS RAÍCES TAMBIÉN SON POTENCIAS

9

a) b)

1/2

dx = x 3/2 = √x 3 3
1/2

∫ 2 √x dx = ∫ 2 x ∫ ∫
2 3 3

dx = x 3/2 = √x 3 2 3/2 2 √x 3 x = 3 3

10 a) √x dx =

∫2x ∫1/2

dx =

14 √x 3 b) 7 √x dx = 7 √x dx = 3

∫ ∫

11 a) √3x dx = √3 · √x dx = b)

∫

∫ √3 √x dx = √3 ∫ √x dx =
5

2√3 2 √ 3x 3 √x 3 = 3 3 15 15

√2x
5 1

dx =

∫

√ 2 √x dx = √ 2 √x dx = √ 2 · 2 √x 3 = 2 √ 2 √x 3 = 2 √ 2x 3
5

∫

5

3

12 a) b)

∫2x
1 3

–1/2

dx = x 1/2 = √x

∫ 2√x dx = √x
—

13 a)

∫ 2√x dx = 3∫ 2 √ x
—

1

dx = 3 √x x 5/2 = 2√x 5 5/2 6

b) 5 √x 3 dx = 5 x 3/2 dx = 5 14 a) 3 3 1

∫

∫

∫ √5x dx = ∫ √5 · √x dx = 5 √5x
—

b) √7x 3 dx = √7
■

∫

∫ √x

3

dx =

2 √7x 5 5

¿RECUERDAS QUE D(ln x) = 1/x ?

15 a) b)

∫ x dx = ln |x| ∫ 5x dx = 5 ∫ 5x
1 1 5 dx = 1 ln |5x| 5

1

2

Unidad 12. Cálculo de primitivas

UNIDAD 12

16 a) b)

∫ x + 5 dx = ln |x + 5| ∫ 2x + 6 dx = 2 ∫ 2x + 6 ∫ ∫ ∫∫ ∫
3 3 2 dx = 3 ln |2x + 6| 2

1

■ ALGUNAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

17 a) cos x dx = sen x b) 2 cos x dx = 2 sen x

∫ ∫ ∫ ∫

18 a) cos x +

(

π dx = sen x + π 2 2

)

(

)

b) cos 2x dx =

1 1 2 cos 2x dx = sen 2x 2 2

∫

19 a) (–sen x) dx = cos x b) sen x dx = –cos x

20 a) sen (x – π) dx = –cos (x – π) b) sen 2x dx = 1 –1 2 sen 2x dx = cos 2x 2 2

∫

21 a)(1 + tg2 2x) dx = b) tg2 2x dx =

1 1 2(1 + tg 2 2x) dx = tg 2x 2 2

∫
2

∫

∫ (1 + tg

2x – 1) dx =

∫ (1 + tg

2

2x) dx –

∫ 1 dx = 2 tg 2x – x

1

■ ALGUNAS EXPONENCIALES

22 a) e x dx = e x b) e x + 1 dx = e x + 1 23 a) e 2x dx =

∫ ∫

∫

1 1 2e 2x dx = e 2x 2 2

∫

b) e 2x + 1 dx =

∫

1 1 2e 2x + 1 dx = e 2x + 1 2 2

∫

Unidad 12. Cálculo deprimitivas

3

Página 339
1. Calcula las siguientes integrales: a) c) e) g) i)

∫ 7x ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

4

dx

b) d) f)

∫x ∫

1
2

dx

x 4 – 5x 2 + 3x – 4 dx x x 4 – 5x 2 + 3x – 4 dx x+1 7x 4 – 5x 2 + 3x – 4 dx x2
3

x3 dx x–2

∫ √x dx ∫ √5x
3 3

h) j)

2

dx

√x + √5x 3
3x

—

—

dx

∫ √3x dx

√5x 3

a)

7x 4 dx = 7 ·

x5 7x 5 +k= +k 5 5
–2

b)

∫ x1 ∫∫ ∫

2

dx =

∫x

dx =

–1 x –1 +k= +k x –1

c)

x 4 – 5x 2 + 3x – 4 dx = x x3 dx = x–2

∫ (x

3

– 5x + 3 –

4 x4 5x 2 dx = – + 3x – 4 ln | x | + k x 4 2

)

d)

∫(

x 2 + 2x + 4 +

8 x3 dx = + x 2 + 4x + 8 ln | x – 2 | + k x–2 3 – x 2 – 4x + 7 – 11 dx = x+1

)

e)

x 4 – 5x 2 + 3x – 4 dx = x+1 =

∫ (x

3

)

x4 x3 – – 2x 2 + 7x – 11 ln | x + 1| + k4 3

f)

∫ √x ∫

dx =

∫x

1/2

dx =

2 √ x3 x 3/2 +k= +k 3 3/2

g)

7x 4 – 5x 2 + 3x – 4 dx = x2 = =

∫ ( 7x x ∫ 7x
2

4

2

)

dx –

∫ ( 5x x

2

2

)

dx + 3

∫ ( 3x ) dx – ∫ ( x4 x
2 2

2

)

dx =

dx –

∫ 5 dx + ∫ x dx – ∫ x4

dx =

4 7x 3 – 5x + 3 ln | x | + + k x 3

4

Unidad 12. Cálculo de primitivas

UNIDAD 12

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