Factorizaci N De Polinomios

Factorización de polinomios
la factorización de polinomios o factorización polinómica se refiere a factorizar un polinomio con coeficientes en un campo dado o en los números enteros en factores irreducibles con coeficientes en el mismo dominio. Factorización polinómica es una de las herramientas fundamentales de los sistemas de álgebra computacional.
Cuando los algoritmos de pasos finitos largotiempo conocidos se pusieron por primera vez en los ordenadores, resultaron ser altamente ineficiente. El hecho de que casi cualquier polinomio uni o multivariado de hasta grado 100 y con coeficientes de tamaño moderado (hasta 100 bits) se puede factorizar mediante algoritmos modernos en unos pocos minutos indica el éxito con que este problema se ha atacado durante los últimos quince años.
Raíz deun polinomio
Diremos que un número x=a es raíz de un polinomio P(x) si al evaluar P en a se anula, es decir, P(a)=0.
Un polinomio es divisible por otro si al realizar la división el resto es 0.
Por tanto, si a es raíz de un polinomio P(x), teniendo en cuenta el teorema del resto, podemos afirmar que P(x) es divisible por x-a.
Si a es una raíz de un polinomio entonces a divide al términoindependiente.
Dado P(x) = cnxn + cn-1xn-1 +...+ c1x + c0 y sea a una raíz de P
P(a) = cnan + cn-1an-1 +...+ c1a + c0 , al sea a una raíz, P(a) = 0
cnan + cn-1an-1 +...+ c1a + c0 = 0 pasamos el término independiente al segundo miembro y sacamos factor común a a, queda a·( cnan-1 + cn-1an-2 +...+ c1 ) = - c0 de aquí se deduce que la raíz es divisor del término independiente.

Esto nos permite buscar lasraíces entre los divisores del término independiente

Factoriza el polinomio P(x)=2x5 -3x3 +4x2 -9x + 6
Usamos la regla de Ruffini, los candidatos a raíz serán los divisores de 6, es decir, 1, -1, 2, -1, 3, -2, 6, -6.
Vamos probando hasta que encontremos un valor cuyo resto es 0, repetimos el proceso con los coeficientes del polinomio cociente hasta que no podamos continuar, porque lleguemos a unpolinomio irreducible.
En el ejemplo hemos llegado a un momento en el que no hemos encontrado raíces enteras 2x2 +3, con este polinomio podemos continuar planteando una ecuación de segundo grado, aún así no tiene raíces reales por tanto es irreducible. En la figura de la derecha se observa el proceso.
La factorización queda:
2x5 -3x3 +4x2 -9x + 6 =(x-1)2(x+2)(2x2 +3)


Factorización por fórmulasnotables o productos notables
Antes de seguir adelante recordemos unas fórmulas, que generalmente llamamos fórmulas notables productos notables. Aplicando la distributividad puedes verificar los productos.

1. (a+b)2 = (a+b) (a+b) = a2+2ab+b2
2. (a-b)2 = (a-b) (a-b) = a2-2ab+b2

Continuemos la factorización por fórmulas notables o productos notables. Una primera factorización que se presenta en(I) es:

P(x) = 9x3-24x4+16x5 = (9-24x+16x2)x3
Vimos que corresponde a la factorización por factor común, sin embargo, no es una factorización completa.
Dentro del paréntesis tenemos un trinomio de grado dos, al cual llamaremos R(x) = 9-24x+16x2.
Éste se parece a:
a2-2ab+b2 = (a-b)(a-b)
Pues
R(x) = 9-12x+16x2 = 32-2(3)(4x)+(4x)2
Por lo tanto se tiene que:
R(x) = (3-4x) (3-4x) = (3-4x)2

Ahorapodemos decir que P(x) = 9x3-24x4+16x5 se factoriza completamente como:
P(x) = (3-4x)(3-4x)x3


Factorizar utilizando fórmulas notables o productos notables es en realidad reconocer la forma de cada uno de los componentes de un trinomio de grado dos. Más adelante veremos que estos componentes no están completos por lo que se hace necesario recurrir a otros métodos de factorización.


Ejemplos:


a) R(x)= 4x2􀀀4x+1 = (2x)2-2(2x)(1)+12 = (2x-1) (2x-1) = (2x-1)2
b) Q(x) = x2􀀀22x+121 = x2-2(x)(11)+(11)2



Factorización por factor común
Para comenzar, comparemos las multiplicaciones con los factores y veamos si podemos descubrir un patrón.

 Usan la propiedad distributiva. Cuando multiplicamos, tenemos que: . Cuando factorizamos.
 
Para factorizar un binomio, debemos hallar un...