factoRIZACI N DE POLINOMIOS



FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS

1) Factor Común (o "Primer Caso")
2) Factor Común en Grupos (o "Segundo Caso")
3) Trinomio Cuadrado Perfecto (o "Tercer Caso")
4) Cuatrinomio Cubo Perfecto (o "Cuarto Caso")
5) Diferencia de Cuadrados (o "Quinto Caso")
6) Sumas o Restas de Potencias de Igual Grado  
(o "Sexto Caso") 
7) Trinomio de Segundo Grado (o "Séptimo Caso")
8) Factoreo con Gauss


FACTORCOMÚN:

EJEMPLO 1: (Hay factor común entre los números)

8a - 4b + 16c + 12d = 4. (2a - b + 4c + 3d)
El factor común es el número 4: El Máximo Común Divisor entre los números.

EJEMPLO 2: (Hay factor común entre las letras)

7x2 + 11x3 - 4x5 + 3x4  - x8 = x2. (7 + 11x - 4x3 + 3x2 - x6)
El factor común es x2.: La x elevada a la menor potencia con que aparece.

EJEMPLO 3: (Hay factor común entre losnúmeros y entre las letras)

9x3 - 6x2 + 12x5 - 18x7 = 3x2. (3x - 2 + 4x3 - 6x5)
El factor común es 3x2: El MCD entre los números y la x elevada a la menor potencia.

EJEMPLO 4: (Sacar factor común negativo)

8a - 4b + 16c + 12d = - 4. (- 2a + b - 4c - 3d)

FACTOR COMÚN EN GRUPOS:
EJEMPLO 1: (Todos los términos son positivos)


4a  +  4b  +  xa  +  xb  = 4.(a + b)  +  x.(a + b) =  (a + b).(4 +x)

Saco factor común "4" en el primer y segundo término; y factor común "x" en el tercer y cuarto término. Los dos "resultados" son iguales: (a + b). Luego, saco como factor común a (a + b).
EJEMPLO 2: (Con términos negativos)
4a  -  4b  +  xa  -  xb = 4.(a - b)  +  x.(a - b) = (a - b).(4 + x)

EJEMPLO 3: (Con términos negativos y "Resultado desordenado")
4a  -  4b  -  xb  +  xa = 4.(a - b)  + x.(-b + a) = 4.(a - b)  +  x.(a - b) = (a - b).(4 + x)

En el primer paso quedó desordenado, pero luego puedo cambiar el orden de los términos, ya que (- b + a) es igual que (a - b)

EJEMPLO 4: (Polinomio de 6 términos)
4a - 7x2a + ya  +  4z - 7x2z + yz = a.(4 - 7x2 + y) +  z.(4 - 7x2 + y) = (4 - 7x2 + y).(a + z)

Aquí hay 6 términos, y dos maneras posibles de agrupar: 2 grupos de 3 términos, o 3grupos de 2 términos. En este caso se agruparon de a 3 términos. 
TRINOMIO CUADRADO PERFECTO:
EJEMPLO 1: (Términos positivos)
x2  +  6x  +  9 = (x + 3)2

x                3
      2.3.x
         6x

Busco dos términos que sean "cuadrado" de algo. Son: x2 y 9. Entonces "bajo" la x y el 3 (las bases). Luego verifico 2.x.3 = 6x ("doble producto del primero por el segundo"). Dió igual que el otrotérmino. El polinomio es un cuadrado "perfecto". El resultado de la factorización es la suma de las bases elevada al cuadrado: (x + 3)2 
EJEMPLO 2: (Con un término negativo)
x2   -  10x   +   25 = (x - 5)2

x                   (-5)
      2.(-5).x 
        -10x

Tomo como bases a "x" y "(-5)", ya que (-5)2 también es 25. Y con (-5), la verificación del doble producto dá bien. El resultado es la suma delas bases, al cuadrado. O sea (x + (-5))2 , que es igual a (x - 5)2. 

EJEMPLO 3: (Desordenado)
 x     +     x2   +    1/4 = (x + 1/2)2

              x          1/2
 2.x.1/2
    x

No siempre están los dos cuadrados en los extremos. Las bases son "x" y "1/2", y el doble producto está en el primer término.

EJEMPLO 4: (Con potencias diferentes a "2")
x6  +  10x3  +  25 = (x3 + 5)2x3                  5
       2.x3.5
        10x3

Bajo x3, ya que x6 es igual a (x3)2; es decir que es un "cuadrado", el cuadrado de x3. Las otras potencias pares (4, 6, 8, etc.) también son "cuadrados", ya que x4, por ejemplo, es igual a (x2)2; x6 es igual a (x3)2, por una propiedad de las potencias (potencia de potencia)

CUATRINOMIO CUBO PERFECTO:
EJEMPLO 1: (Todos los términos son positivos)

x3   +   6x2   +   12x  +   8  =  (x + 2)3

x                                  2
         3.x2.2     3.x.22
          6x2         12x


Las bases son x y 2. Los dos "triple-productos" dan bien (6x2 y 12x).
El resultado de la factorización es "la suma de las bases, elevada al cubo".
EJEMPLO 2: (Con términos negativos)

x3   -   9x2   +   27x   -   27  =  (x - 3)3

x                                 -3
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