Factorizacion

FACTORIZACIÓN
Antes de comenzar directamente con los casos de factoreo vamos a necesitar algunas  definiciones:
Factor:           Cuando un polinomio se escribe como producto de otros polinomios,
cada polinomio del producto es un factor del polinomio original.
Factorización: es el proceso con el cual expresamos un polinomio como un producto.
Primo:             Se dice que un polinomio esprimo o irreducible cuando no puede
escribirse como producto de dos polinomios de grado positivo.
Al factorizar un polinomio el objetivo es expresarlo como un producto de polinomios primos o potencias de polinomios primos, tratando principalmente de trabajar con los números enteros.
La factorización juega un papel importante en una gran cantidad de aplicaciones de la matemática, pues nos permiteconvertir expresiones muy complicadas en expresiones más simples facilitando así su estudio.
Para facturar un monomio se realiza por pura inspección, separando lo números y las letras entre si.
 Prueba general de los factores
En cualquiera de los casos de factores la prueba es la misma multiplica los polinomios primos para ver si el resultado es el polinomio original.

FACTOR COMÚN
Se diceque un polinomio tiene factor común cuando una misma cantidad, ya sea número o letra, se encuentra en todos los términos del polinomio.
Si en todos los términos de un polinomio figura un factor común, dicho polinomio es igual al producto de ese factor por el polinomio que resulta al dividir cada término por ese factor.
Para efectuar el factor común hay que tomar en cuenta que este se realizatanto para los números como para las letras, y con las letras se toma la que tenga el menor exponente de todas.Ejemplo:

Como puede verse el cinco es el común numérico y la “x” la única letra común en este polinomio, como dos es el menor exponente de “x” es este el exponente que se tomara en cuenta, siendo el factor común 5x2.
Nos queda como respuesta:
 
Ejemplos:
Encontrar el factor común delos siguientes términos:

FACTOR COMÚN POR AGRUPACION DE TERMINOS
 Se llama factor común por agrupación de términos, si los términos de un polinomio pueden reunirse en grupos de términos con un factor común diferente en cada grupo.
Cuando pueden reunirse en grupos de igual número de términos se le saca en cada uno de ellos el factor común. Si queda la misma expresión en cada uno de los gruposentre paréntesis, se la saca este grupo como factor común, quedando así una multiplicación de polinomios.
Tratar desde el principio que nos queden iguales los términos de los paréntesis nos hará mas sencillo el resolver estos problemas.
                        2ax + 2bx - ay + 5a - by + 5b
Agrupo los términos que tienen un factor común
                        (2ax - ay + 5a ) + ( 2bx - by +5b )
Saco el factor común de cada grupo
                        a ( 2x - y + 5 ) + b (2x - y + 5 )
Como las expresiones encerradas entre paréntesis son iguales se tiene:
                        ( 2x -y +5 )(a + b)
Que es nuestra respuesta.Ejemplos:
17ax – 17mx + 3ay - 3my + 7az – 7mz           = a(17x +3y +7z) - m(17x + 3y +7z)
                                                                        = (17x +3y +7z)(a – m)
 
m(x + 2) – x – 2 + 3(x + 2)     = (x + 2)(m + 3) -1(x + 2) = (x + 2)[(m + 3) – 1]
                                                = (x + 2)(m + 3 – 1)
Otra forma de hacerlo
m(x + 2) – x – 2 + 3(x + 2)     = m(x + 2) -1(x + 2) + 3(x + 2) = (x + 2)(m + 3 -1)
TRINOMIO CUADRADO PERFECTO
 Se llama trinomio cuadrado perfecto al trinomio(polinomio de tres términos) tal que, dos de sus términos son cuadrados perfectos y el otro término es el doble producto de las bases de esos cuadrados.

En el trinomio cuadrado perfecto los términos cuadrados son siempre positivos, en cambio el término del doble producto puede ser negativo; en este caso debe ser negativo uno de los términos del binomio cuyo cuadrado es el trinomio dado, del ejemplo...