faCTORIZACION
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Publicado: 9 de abril de 2013
Factorización de enteros
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En teoría de números, la factorización de enteros o factorización de primos consiste en descomponer un número compuesto (no primo) en divisores no triviales, que cuando se multiplican dan el número original.
Cuando los números son muy grandes no se conoce ningún algoritmo que resuelva eficientemente este problema; unreciente intento de factorizar un número de 200 dígitos (RSA-200) tardó 18 meses y consumió más de medio siglo de tiempo de cálculo. Su supuesta dificultad es el núcleo de ciertos algoritmos criptográficos, como el RSA. Muchas áreas de las matemáticas y de las ciencias de la computación, como la teoría algebraica de números, las curvas elípticas o la computación cuántica, están relacionadas con esteproblema.
Descomponer dos números de igual longitud no tiene por qué tener la misma complicación. Actualmente (2006) se considera que los casos más duros son aquellos para los que los factores son dos números primos, elegidos al azar, de aproximadamente el mismo tamaño.
Índice
[ocultar] 1 Descomposición en factores primos
2 Factorización de enteros en tiempo polinómico 2.1Aplicaciones prácticas
3 Estado actual 3.1 Dificultad y complejidad
4 Algoritmos de factorización 4.1 De propósito general
4.2 De propósito específico
4.3 Otros algoritmos importantes
5 Véase también
6 Referencias 6.1 Bibliografía
7 Enlaces externos 7.1 En español
7.2 En inglés
[editar] Descomposición en factores primos
La imagen demuestra ladescomposición en primos del número 864. Un método rápido de escribir el resultado en números primos es .
Por el teorema fundamental de la aritmética, cada entero positivo tiene una única descomposición en números primos. La mayor parte de los algoritmos de factorización elementales son de propósito general, es decir, permiten descomponer cualquier número introducido, y solo se diferencian sustancialmente enel tiempo de ejecución.
[editar] Factorización de enteros en tiempo polinómico
El problema de factorizar enteros en tiempo polinómico no ha sido aún resuelto. Si alguien lo consiguiera, esto tendría gran interés en el ámbito de la criptografía, ya que muchos criptosistemas dependen de su imposibilidad. En medios académicos, la existencia de tal avance sería una gran noticia; en otroscírculos, sería un gran secreto, por razones obvias.
[editar] Aplicaciones prácticas
La dureza de este problema, se encuentra en el núcleo de varios sistemas criptográficos importantes. Un algoritmo veloz para la factorización de enteros significaría que el algoritmo de clave pública RSA es inseguro. Algunos sistemas criptográficos, como el algoritmo de clave pública Rabin y el generador denúmeros pseudoaleatorios Blum Blum Shub garantizarían una mejora en su seguridad; cualquier método que logre quebrarlos puede ser utilizado para crear un algoritmo de factorización más veloz; si la factorización de enteros es veloz, éstos se vuelven más duros. En contraste, pueden existir ataques más eficientes al problema RSA, pero no se conoce ninguno.
Un problema duro similar con aplicacionescriptográficas es el problema del logaritmo discreto.
[editar] Estado actual
Un equipo en la Agencia Federal Alemana para Seguridad de Tecnología de Información (BSI) sostiene el récord por factorización de semiprimos en la serie propuesta por la Competición de factorización RSA, con patrocinio de RSA Security. El 9 de mayo de 2005, este equipo anunció la factorización de RSA-200, un númerode 663 bits, usando la criba general del cuerpo de números.
El mismo equipo más tarde anunció la factorización de RSA-640, un número más pequeño, conteniendo 193 digitos decimales (640 bits) el 4 de noviembre de 2005.
Ambas factorizaciones requirieron varios meses de tiempo de computadoras, utilizando el poder combinado de 80 CPUs Opteron AMD.
[editar] Dificultad y complejidad...
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En teoría de números, la factorización de enteros o factorización de primos consiste en descomponer un número compuesto (no primo) en divisores no triviales, que cuando se multiplican dan el número original.
Cuando los números son muy grandes no se conoce ningún algoritmo que resuelva eficientemente este problema; unreciente intento de factorizar un número de 200 dígitos (RSA-200) tardó 18 meses y consumió más de medio siglo de tiempo de cálculo. Su supuesta dificultad es el núcleo de ciertos algoritmos criptográficos, como el RSA. Muchas áreas de las matemáticas y de las ciencias de la computación, como la teoría algebraica de números, las curvas elípticas o la computación cuántica, están relacionadas con esteproblema.
Descomponer dos números de igual longitud no tiene por qué tener la misma complicación. Actualmente (2006) se considera que los casos más duros son aquellos para los que los factores son dos números primos, elegidos al azar, de aproximadamente el mismo tamaño.
Índice
[ocultar] 1 Descomposición en factores primos
2 Factorización de enteros en tiempo polinómico 2.1Aplicaciones prácticas
3 Estado actual 3.1 Dificultad y complejidad
4 Algoritmos de factorización 4.1 De propósito general
4.2 De propósito específico
4.3 Otros algoritmos importantes
5 Véase también
6 Referencias 6.1 Bibliografía
7 Enlaces externos 7.1 En español
7.2 En inglés
[editar] Descomposición en factores primos
La imagen demuestra ladescomposición en primos del número 864. Un método rápido de escribir el resultado en números primos es .
Por el teorema fundamental de la aritmética, cada entero positivo tiene una única descomposición en números primos. La mayor parte de los algoritmos de factorización elementales son de propósito general, es decir, permiten descomponer cualquier número introducido, y solo se diferencian sustancialmente enel tiempo de ejecución.
[editar] Factorización de enteros en tiempo polinómico
El problema de factorizar enteros en tiempo polinómico no ha sido aún resuelto. Si alguien lo consiguiera, esto tendría gran interés en el ámbito de la criptografía, ya que muchos criptosistemas dependen de su imposibilidad. En medios académicos, la existencia de tal avance sería una gran noticia; en otroscírculos, sería un gran secreto, por razones obvias.
[editar] Aplicaciones prácticas
La dureza de este problema, se encuentra en el núcleo de varios sistemas criptográficos importantes. Un algoritmo veloz para la factorización de enteros significaría que el algoritmo de clave pública RSA es inseguro. Algunos sistemas criptográficos, como el algoritmo de clave pública Rabin y el generador denúmeros pseudoaleatorios Blum Blum Shub garantizarían una mejora en su seguridad; cualquier método que logre quebrarlos puede ser utilizado para crear un algoritmo de factorización más veloz; si la factorización de enteros es veloz, éstos se vuelven más duros. En contraste, pueden existir ataques más eficientes al problema RSA, pero no se conoce ninguno.
Un problema duro similar con aplicacionescriptográficas es el problema del logaritmo discreto.
[editar] Estado actual
Un equipo en la Agencia Federal Alemana para Seguridad de Tecnología de Información (BSI) sostiene el récord por factorización de semiprimos en la serie propuesta por la Competición de factorización RSA, con patrocinio de RSA Security. El 9 de mayo de 2005, este equipo anunció la factorización de RSA-200, un númerode 663 bits, usando la criba general del cuerpo de números.
El mismo equipo más tarde anunció la factorización de RSA-640, un número más pequeño, conteniendo 193 digitos decimales (640 bits) el 4 de noviembre de 2005.
Ambas factorizaciones requirieron varios meses de tiempo de computadoras, utilizando el poder combinado de 80 CPUs Opteron AMD.
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