factorizacion

Introduccion.

Si un polinomio es el producto de otro polinomio, entonces a cada uno de los polinomios se le llama factor del original.























Indice.


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Factorización.
Si un polinomio es elproducto de otro polinomio, entonces a cada uno de los polinomios se le llama factor del original. Puesto que

X - 5 y x + 5 son factores de x² - 25. El proceso de fin de obtención de los factores de un polinomio constituye la factorisazion de dicho polinomio. La factorización es importante al trabajar con fracciones para resolver ecuaciones.
Considerando los factores primos de los números naturales.Si un número natural mayor que 1 no tiene factores numéricos además de sí mismo y 1, se dice que dicho numero natural es un número primo. Por consiguiente los números primos son 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 17, etc. Un número natural mayor que 1 y que no sea primo son números compuestos. Por tanto 4, 6, 8, 10, 12, 14, 15, 16, etc., son números compuestos. Se dice que un número compuesto esta en formacompletamente factorizada cuando se exprese como productos de números primos. Para expresar un cierto número compuesto en forma completamente factorizada , primero se expresa como el producto de factores más pequeños (obtenidos por observación o por tanteo) y el proceso continua hasta que todos los factores son números primos. Por ejemplo, 120 = 4 x 30; después 4 = 2² y 30 = 6 x 5 y 6 = 2 x 3 Porconsiguiente,
120 = 4 x30
= (2²)(6 x 5)
= (2²)(2 x 3)(5)
= 2² x 3 x 5


Si primero se expresa 120 como el producto de 10 y 12 y después escribimos 10 = 2 x 5 y 12= 4 x 3 con 4 = 2², se obtiene.
120= 10 x 12
= (2 x 5)(4 x 3)
= (2 x 5)(2² x 3)
= 2³ x 5 x 3
Nótese que en ambos casos se obtienen los mismos factores primos de 120, aunque con orden diferente. En general, un número compuestopuede expresarse de forma completamente factorizada en una forma y solo una, este hecho corresponde al siguiente teorema, llamado teorema de la aritmética.
Se dice que un polinomio con coeficientes enteros es primo cuando no tiene factores o polinomios excepto a sí mismo y 1. Además, un polinomio con coeficientes enteros está en su forma completamente factorizada cuando cada de sus factores polinominales es primo. La descripción de cada procedimiento va precedida de un título que describe el tipo de polinomio o la técnica usada para factorizarlo.







Separación de un factor mono minal común.
Si todos los términos de un polinomio contienen un factor monomial común, entonces, de acuerdo con la ley distributiva, el polinomio puede escribirse como el producto del factormonomial común de cada uno de los términos del trinomio ax +ay + az; por consiguiente.
Ax + ay + az = a(x + y + z)
Diferencia de dos cuadrados.
A partir del producto notable 3 de la sección 1.3 se obtiene la formula
x²­y² = (x+h)(x-y)
El lado izquierdo de esta fórmula es la diferencia de dos cuadrados y la formula enuncia que puede escribirse como el producto de la suma por la diferencia de las dosvariables.
Factorización de trinomios.
El producto notable 2 de la sección 1.3 proporciona la sig formula.
x²+2xy+y² = (x+y)²
Notese que siempre que se desee factorizar un trinomio que tenga 2 terminos que son cuadrados perfectos, se puede aplicar esta formula siempre que el otro termino sea el producto de las raíces cuadradas de los términos cuadrados perfectos. A este tipo de trinomio se lellama trinomio cuadrado perfecto.





Suma y diferencia de dos cubos.
Calculando el producto de x + y y x², obtenemos
(x+y)(x²-xy+y²)=x(x²-xy+y²) + y(x²-xy+y²)
=x³-x²y+xy²+x²y-xy²+y³
=x³y³
Por consiguiente
x³+y³ = (x+y)(x²-xy+y²)
Esta fórmula sirve para factorizar la suma de dos cubos. Para factorizar la diferencia se ocupa la sig. formula.
x³-y³ =(x-y)(x²+xy+y²)
Factorización...