Factorizacion

Factorizacion
En matemáticas, la factorizacion es una técnica que consiste la descomposición de una expresión matemática (que puede ser un número, una suma, una matriz, un polinomio, etc) en forma de producto. Existen diferentes métodos de factorización, dependiendo de los objetos matemáticos estudiados; el objetivo es simplificar una expresión o reescribirla en términos de bloquesfundamentales, que reciben el nombre de factores, como por ejemplo un número en números primos, o un polinomio en polinomios irreducibles.
FACTORIZACIÓN POR FACTOR COMÚN


 
 
Factorización por factor común
La factorización de polinomios por factor común consiste básicamente en la aplicación de la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la adición, para esto recordemos que estapropiedad expresa:
Si  entonces 
En forma más general,
Si  entonces:
 y en tal caso decimos que
 es una factorización de la expresión1 , y que  es un factor común de los sumandos de 
Factorización del trinomio cuadrado perfecto.
Objetivos:
Definir el concepto de trinomio cuadrado perfecto.
Explicar la factorización del trinomio cuadrado perfecto.
        El trinomio cuadrado perfecto es uncaso especial de trinomio que se puede escribir como el cuadrado de un binomio empleando las siguientes ecuaciones.
Trinomio cuadrado perfecto
Cuadrado del binomio correspondiente
x2+2xy+y2   
= (x+y)2
x2-2xy+y2 
= (x-y)2
        Ejemplo:
(x+3)2=(x+3)(x+3)=x2+6x+9
        Donde (x+3)2 es el cuadrado del binomio y x2+6x+9 es el trinomio cuadrado perfecto. Trinomio porque tiene tres términosy es cuadrado perfecto porque el primer término (x2), y el tercero (9), aceptan raíz cuadrada.
        Para factorizar el trinomio cuadrado perfecto se aplica la siguiente regla:
a) Se escribe un paréntesis.
b) Se obtiene la raíz cuadrada del primer término.
c) Se obtiene la raíz cuadrada del tercer término y se escribe en el paréntesis.
d) El signo del binomio se toma del signo que tenga elsegundo término del trinomio.
e) El binomio se eleva al cuadrado.
Factorización del cubo perfecto.
Objetivos:
Explicar cómo se realiza la factorización del cubo perfecto.
Definir cómo se realiza la factorización mediante la diferencia de cubos.
        Se le llama cubo perfecto al resultado de elevar un binomio al cubo, esto es:
Binomio al cubo.
Cubo perfecto (polinomio).
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
        Para factorizar el polinomio cubo perfecto se hace lo siguiente:
        1. Se escribe un paréntesis.
        2. Se saca raíz cúbica del primer término.
        3. Se saca raíz cúbica del cuarto término.
        4. Se toma el signo del último término.
        5. Se eleva al cubo el binomio.
        Por lo anterior podemos decir que:
(27x3+216y3)=(3x+6y)(9x2-12xy+36y2)        Al tener la diferencia de dos cubos o la suma de dos cubos sabemos que es el resultado de multiplicar:
  ó   
        Donde a y b, se pueden representar por cualquier cantidad.
        Para descomponer la suma o diferencia de cubos, tenemos que encontrar el binomio y el trinomio que multiplicados den como resultado la suma o la diferencia, según sea el caso.
        Primer caso: la suma dedos cubos.
        Se origina cuando:


binomio             trinomio     
DIFERENCIA DE CUADRADOS / EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 1

EJEMPLO 1: (Fácil)

x2 - 9 = (x + 3).(x - 3)

x     3
Los dos términos son cuadrados. Las "bases" son x y 3. Se factoriza multiplicando la "suma de las bases" por la "resta de las bases".


EXPLICACIÓN:

Es una resta de dos términos que son cuadrados (¿quées un cuadrado?):

x2 es el cuadrado de x

9 es el cuadrado de 3

1) "Bajo las bases", como hacía en el Tercer Caso. Las bases son: x y 3
(¿qué son las bases?). Esto es simplemente una anotación, y no forma parte de la factorización. Pero es mejor ponerlo, para que el profesor vea que entendemos lo que estamos haciendo.

2) Pongo esas bases sumando y restando, entre paréntesis y...