factorizacion

CAPÍTULO
FACTORIZACIÓN

15

Reseña

HISTÓRICA

Pierre de Fermat

M

atemático francés quien nació en
Beaumont de Lomagne y falleció
en Toulouse. Fermat participó con
Pascal en la creación de la teoría matemática
de la probabilidad; Descartes y Fermat inventaron la geometría analítica, cada uno por su
lado. Si todas estas aportaciones de primera categoría no son suficientes para ponerlo a lacabeza de sus contemporáneos
en la matemática pura, podemos preguntarnos: ¿quién hizo más? Fermat
era creador innato. Era también, en el estricto sentido de la palabra, en lo
que se refiere a su ciencia de la matemática, un aficionado. Sin duda es
uno de los más grandes aficionados en la historia de la ciencia, y quizá
“sea el primero”. La vida de Fermat fue tranquila y laboriosa, pues tuvo unaextraordinaria suerte.
Pierre de Fermat
(1601-1665 d.C.)

15 CAPÍTULO
ÁLGEBRA

Definición
Factorizar es expresar una suma o diferencia de términos como el producto indicado de sus factores; éstos se presentan
en la forma más simple.

Factor común
Es la expresión común que tienen todos los términos de una expresión algebraica.

Ejemplos

EJEMPLOS

1

Factoriza: x 6 − x 5 + x 2 .
Solución

( )

Paraencontrar el factor común se toma la letra que se repite y de menor exponente x 2 , después cada uno de los
términos de la expresión algebraica se divide entre el factor común:
x6
= x4
x2

−

x5
= −x3
x2

x2
=1
x2

Los resultados se expresan de la siguiente manera:

(

)

x6 − x5 + x2 = x2 x4 − x3 + 1

2

Factoriza: 16 a 6b 7 c − 12a 5b 2 c 3 + 20 a 3b10 .
Solución
Se busca el factor común de loscoeficientes, que es el máximo común divisor de ellos y también se busca el factor
común de las literales:
MCD (16, 12, 20) = 4

Factor común literal = a 3b 2

Se realizan las divisiones término a término y el resultado de la factorización es:

(

16 a 6b 7 c − 12a 5b 2 c 3 + 20 a 3b10 = 4 a 3b 2 4 a 3b 5 c − 3a 2 c 3 + 5b 8

3

)

Obtén la factorización de la expresión: 18 x 2 − 12x + 54.
Solución
Elmáximo común divisor de los coeficientes es 6 y no existe un factor común literal, por tanto, la expresión tiene sólo
un factor común numérico y se expresa como:

(

18 x 2 − 12x + 54 = 6 3x 2 − 2 x + 9

4

)

Factoriza: ( 2 a − 3b ) ( 5 a − 7b ) − ( 2 a − 3b ) ( 5 a − 7b ) .
2

3

3

2

Solución
En esta expresión el factor común está compuesto por binomios, por consiguiente, se toma de cada unode ellos el de
menor exponente y se realiza la factorización de la siguiente manera:

( 2a − 3b )2 ( 5 a − 7b )3 − ( 2a − 3b )3 ( 5a − 7b )2 = ( 2a − 3b )2 ( 5 a − 7b )2 ⎡⎣( 5a − 7b ) − ( 2a − 3b )⎤⎦

308

CAPÍTULO 15
Factorización

Se reducen los términos semejantes del último factor:
= ( 2 a − 3b ) ( 5 a − 7b ) [ 5 a − 7b − 2 a + 3b ]
2

2

= ( 2 a − 3b ) ( 5 a − 7b ) [ 3a − 4 b ]
2

2Finalmente, el resultado de la factorización es: ( 2 a − 3b ) ( 5 a − 7b ) [ 3a − 4 b ]
2

2

EJERCICIO 39
Factorizar las siguientes expresiones:

Ú

1. a2 + a

14. 55m2n3x + 110m2 n3 x2 − 220m2y3

2. a3b2 − 2a3b

15. 25x7 − 10x5 + 15x3 − 5x2

3. a4 + a3 − a2

16. 9a2 − 12ab + 15a3b2 −24ab3

4. 18x5 + 30x4

17. 12m2n + 24m3n2 − 36m4n + 48m5n4

5. 48x2 − 12x3 − 24x4

18. 3a2b + 6a3b2 − 5a4b3 + 8a5b4 +4a6b5

6. 25b2 + 35b4 − 45b5

19. 16x3y2 − 8x4y − 24x2y − 40x2y3

7. 11ax − 121a2x + 33a3

20. 100a2b3c − 150ab2c2 + 50ab3c3 − 200abc2

8. 9a5b − 12 a2b3 + 15ab2 − 18a3b4

21. 93a3x2y − 62a2x3y2 −124a2x

9. 9x2 + 6x + 3

22. 6x(3x − 1)2 + 2x2(1 − 3x)2

10. 4x4 − 8x3 + 12x2

23. 9(x + 1) − 3(x + 1)2

11. 6x2 − 6xy − 6x

24. x2(x + 2) − x(x + 2)

12. 14x2y2 − 28x3 + 56x4

25. 4x2 (2x − 5)2 + 8x2(2x −5)

13. 34ax2 + 51a2y − 68ay2

26. (2x − 1)(x + 4) − (2x − 1)(3x + 1)

Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente

Factor común por agrupación de términos
Se agrupan los términos que tengan algún factor en común, de tal modo que la expresión restante pueda factorizarse
como se muestra en los siguientes ejemplos:

Ejemplos

EJEMPLOS

1

Factoriza: am + bm + a2 + ab....