Factorizacion

Factorización
 Todo polinomio se puede factorizar utilizando números reales, si se consideran los números complejos.
Caso I - Factor común
Sacar el factor común es añadir el literal común de un polinomio, binomio o trinomio, con el menor exponente y el divisor común de sus coeficientes. También se puede describir como buscar elfactor común entre los factores.



Factor común trinomio
Factor común por agrupación de términos

  Si y solo si el polinomio es 0 y el cuatrinomio nos da x.

Factor común polinomio
Primero hay que determinar el factor común de los coeficientes junto con el de las variables (la que tenga menor exponente). Se toma en cuenta aquí que el factor común no solo cuenta con untérmino, sino con dos.
Por ejemplo:

Se aprecia claramente que se está repitiendo el polinomio (x-y), entonces ese será el factor común. El otro factor será simplemente lo que queda del polinomio original, es decir:

La respuesta es:

En algunos casos se debe utilizar el número 1, por ejemplo:

Se puede utilizar como: =

Caso II - Factor común por agrupación de términos
Para trabajar un polinomiopor agrupación de términos, se debe tener en cuenta que son dos características las que se repiten. Se identifica porque es un número par de términos.
Un ejemplo numérico puede ser:

Entonces puedes agruparlos de la siguiente manera:

Aplicamos el caso I (Factor común)


Ejercicio # 2 del algebra: am - bm + an - bn = (am-bm) + (an-bn) =m(a-b)+ n(a-b) =(a-b) (m+n)
Caso III - Trinomio cuadradoperfecto
Se identifica por tener tres términos, de los cuales dos tienen raíces cuadradas exactas, y el restante equivale al doble producto de las raíces del primero por el segundo. Para solucionar un trinomio cuadrado perfecto debemos reordenar los términos dejando de primero y de tercero los términos que tengan raíz cuadrada, luego extraemos la raíz cuadrada del primer y tercer término y losescribimos en un paréntesis, separándolos por el signo que acompaña al segundo término; al cerrar el paréntesis elevamos todo el binomio al cuadrado.


Ejemplo 1:

Ejemplo 2:

Ejemplo 3:

Ejemplo 4:

Organizando los términos tenemos:

Extrayendo la raíz cuadrada del primer y último término y agrupándolos en un paréntesis separado por el signo del segundo término y elevando al cuadrado nos queda:

Alverificar que el doble producto del primero por el segundo término es -20xy determinamos que es correcta la solución. De no ser así, esta solución no aplicaría
Caso IV - Diferencia de cuadrados
Se identifica por tener dos términos elevados al cuadrado y unidos por el signo menos. Se resuelve por medio de dos paréntesis, (parecido a los productos de la forma (a-b)(a+b), uno negativo y otro positivo.

Oen una forma más general para exponentes pares:

Y utilizando una productoria podemos definir una factorización para cualquier exponente, el resultado nos da r+1 factores.

Ejemplo 1:

Ejemplo 2:
Supongamos cualquier r, r=2 para este ejemplo.



La factorización de la diferencia o resta de cuadrados consiste en obtener la raíz cuadrada de cada término y representar estas como el producto debinomios conjugados.




Caso V - Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción
Se identifica por tener tres términos, dos de ellos son cuadrados perfectos, pero el restante hay que completarlo mediante la suma para que sea el doble producto de sus raíces, el valor que se suma es el mismo que se resta para que el ejercicio original no cambie.




Nótese que los paréntesis en "(xy-xy)" están amodo de aclaración visual.

Caso VI - Trinomio de la forma x2 + bx + c
Se identifica por tener tres términos, hay una lateral con exponente al cuadrado y uno de ellos es el término independiente. Se resuelve por medio de dos paréntesis, en los cuales se colocan la raíz cuadrada de la variable, buscando dos números que multiplicados den como resultado el término independiente y sumados (pudiendo...