factorizacion

Caso I

- Factor común

Sacar el factor común es extraer la literal común de un polinomio, binomio o trinomio, con el menor exponente y el divisor común de sus coeficientes.

Factor común monomio

Factor común por agrupación de términos

ab + ac + ad = a ( b + c + d)
ax + bx + ay + by = (a + b )( x + y )

Factor común polinomio

Primero hay que sacar el factor común de los coeficientesjunto con el de las variables (la que tenga menor exponente) para luego operar; ejemplo:

ab - bc = b(a-c)

Caso II

- Factor común por agrupación de términos

Para trabajar un polinomio por agrupación de términos, se debe tener en cuenta que son dos características las que se repiten. Se identifica porque es un número par de términos. Para resolverlo, se agrupan cada una de lascaracterísticas, y se le aplica el primer caso, es decir:

ab+ac+bd+dc = (ab+ac)+(bd+dc)
= a(b+c)+d(b+c)
= (a+d) (b+c)

Caso III

- Trinomio cuadrado perfecto

Se identifica por tener tres términos, de los cuales dos tienen raíces exactas, y el restante equivale al doble producto de las raíces. Para solucionar un T.C.P. debemos organizar los términos dejando de primero y de tercero los términos que tenganraíz cuadrada, luego extraemos la raíz cuadrada del primer y tercer término y los escribimos en un paréntesis, separandolos por el signos que acompaña al segundo término, al cerrar el paréntesis elevamos todo el binomio al cuadrado. Ejemplo:

(45x-37y)^26564 = 25x^2-30xy+9y^2
(67x+25y)^2456 = 9x^2+12xy+4y^2
(5x+7y)^256 = x^2+2xy+y^2
867x^2+25y^2456-67567xy

FACTOR COMÚN / EJERCICIOS RESUELTOSEJEMPLO 1: (Hay factor común entre los números)

8a - 4b + 16c + 12d = 4. (2a - b + 4c + 3d)


El factor común es el número 4: El Máximo Común Divisor entre los números.

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 1




EJEMPLO 2: (Hay factor común entre las letras)

7x2 + 11x3 - 4x5 + 3x4  - x8 = x2. (7 + 11x - 4x3 + 3x2 - x6)


El factor común es x2.: La x elevada a la menor potencia con que aparece.

EXPLICACIÓNDEL EJEMPLO 2




EJEMPLO 3: (Hay factor común entre los números y entre las letras)

9x3 - 6x2 + 12x5 - 18x7 = 3x2. (3x - 2 + 4x3 - 6x5)


El factor común es 3x2: El MCD entre los números y la x elevada a la menor potencia.
FACTOR COMÚN EN GRUPOS / EJERCICIOS RESUELTOS
EJEMPLO 1: (Todos los términos son positivos)


4a  +  4b  +  xa  +  xb  =

4.(a + b)  +  x.(a + b) =

     (a + b).(4 + x)Saco factor común "4" en el primer y segundo término; y factor común "x" en el tercer y cuarto término. Los dos "resultados" son iguales: (a + b). Luego, saco como factor común a (a + b).

EJEMPLO 3: (Con términos negativos)


4a  -  4b  +  xa  -  xb =

4.(a - b)  +  x.(a - b) =

     (a - b).(4 + x)

Si los "resultados" quedan iguales no hay problema.
TRINOMIO CUADRADO PERFECTO
EJEMPLO 1: (Términospositivos)


x2  +  6x  +  9 = (x + 3)2

x                3
      2.3.x
         6x

Busco dos términos que sean "cuadrado" de algo. Son: x2 y 9. Entonces "bajo" la x y el 3 (las bases). Luego verifico 2.x.3 = 6x ("doble producto del primero por el segundo"). Dió igual que el otro término. El polinomio es un cuadrado "perfecto". El resultado de la factorización es la suma de las bases elevada alcuadrado: (x + 3)2
EJEMPLO 4: (Con un término negativo)


x2   -  10x   +   25 = (x - 5)2

x                   (-5)
      2.(-5).x 
        -10x
CUATRINOMIO CUBO PERFECTO

EJEMPLO 1: (Todos los términos son positivos)

x3   +   6x2   +   12x   +   8  =  (x + 2)3

x                                  2
         3.x2.2     3.x.22
          6x2         12x


Las bases son x y 2.
Los dos"triple-productos" dan bien (6x2 y 12x).
El resultado de la factorización es "la suma de las bases, elevada al cubo".
EJEMPLO 2: (Con términos negativos)

x3   -   9x2   +   27x   -   27  =  (x - 3)3

x                                 -3
     3.x2.(-3)    3.x.(-3)2
        -9x2          27x


Las bases son x y -3, ya que (-3)3 es igual a -27.
Y los dos "triple-productos" dan bien.
El resultado es (x + (-3))3,...