Factorización
Páginas: 12 (2919 palabras)
Publicado: 8 de diciembre de 2013
Resumen: Métodos de Factorización
Profa. Alejandra Alvarado A.
MÉTODOS DE FACTORIZACIÓN
•
Factor común
Si cada término de un polinomio tiene un factor común, podemos expresar el polinomio
como el producto de dos factores, uno de los cuales es el factor común.
Éste método es el que primero se trata de utilizar al estar frente a un ejercicio de
factorización.
A continuación sepresenta un ejemplo detallado de cómo factorizar un polinomio en
varias variables, y con términos cuyos coeficientes son enteros.
7
3
5
9
2
4
Ejemplo: P(x, y, z) = 20x y + 4x y − 8x y z
Pasos a seguir
Aplicación en el ejemplo dado
1. Calculamos el Máximo Común Divisor
(MCD) del valor absoluto de los coeficientes
numéricos del polinomio.
2. Seleccionamos las variables queaparecen
en todos los términos del polinomio, éstas
estarán presentes en el factor común.
20 4 8 2
4
10 2 4 2
5 1 2
Las variables “x” y “y” aparecen en todos
los términos. La variable “z” sólo aparece
en el tercer término. Por lo tanto, las
variables seleccionadas son “x” y “y”.
“x” aparece elevada a la 7 en el primer
término, a la 5 en el segundo y a la 2 en
el tercero, por lo tanto,nos quedamos
3. Tomamos una de esas variables
seleccionadas, y la elevamos al menor
exponente con el que aparezca en los
términos del polinomio.
4. Lo mismo se hace para el resto de las
variables que aparecen en todos los términos
del polinomio.
5. La multiplicación de los términos obtenidos
en los pasos anteriores es el factor común.
6. El otro factor se obtiene dividiendo elpolinomio original por el factor común.
2
con x .
En el caso de la variable “y” nos
3
quedamos con y .
2
3
El factor común en este caso es 4x y .
(20x y
7
3
5
9
2
4
+ 4x y − 8x y z
) ÷ 4x y
2
3
= 5x 5 + x 3 y 6 − 2yz
7. Si el factor obtenido antes no se puede
factorizar, hemos terminado, y la factorización
completa es la multiplicación de éste y elfactor común.
P(x, y, z)
7
3
5
9
2
4
= 20x y + 4x y − 8x y z
2
3
(
5
3
6
= 4x y 5x + x y − 2yz
)
Los pasos anteriormente señalados suelen hacerse de manera mental, por lo cual, el
procedimiento de factor común abarca una o dos líneas.
1
Resumen: Métodos de Factorización
Profa. Alejandra Alvarado A.
7
9
4
5
2
3
2
Observeeste otro ejemplo: 3x y − 11x y + x y = x y
3
(3x y
5
6
2
)
2
− 11x y + 1 .
Nota: En este tipo de ejercicios donde el segundo factor contiene un término que es
solamente un número (en este caso 1) es importante no olvidar escribirlo, puesto que si
se omite, la multiplicación de la derecha no sería igual al polinomio dado.
Ahora, estudiemos el caso de polinomios envarias variables, donde sus términos
contienen coeficientes fraccionarios.
Ejemplo: P(x, y) =
3 2
9
21
x y − x3y8 + x7y2
8
4
10
Pasos a seguir
1. Calculamos el Mínimo Común Múltiplo
(MCM) de los denominadores de las
fracciones, el cual será utilizado para
homogenizarlas.
2. Homogenizamos las fracciones y
encontramos otra representación del
polinomio dado.
3. Calculamos elMáximo Común Divisor
(MCD) de los numeradores de las fracciones
obtenidas.
4. El coeficiente numérico del factor común
es la fracción cuyo numerador es el
calculado en la parte 3, y el denominador es
el mismo de las fracciones homogéneas. El
coeficiente literal del factor común se obtiene
como se explicó en el ejemplo anterior.
5. El otro factor también se obtiene al dividir
el polinomio de laparte 2 por el factor
común, como en el ejemplo anterior.
6. Si el factor obtenido antes no se puede
factorizar, hemos terminado, y la
factorización completa es la multiplicación de
éste y el factor común.
Aplicación en el ejemplo dado
8 4 10 2
4 2
5
2
40
2 1
5
2
1 1
5
5
1 1
1
3 15
9 90
21 84
=
,
=
,
=
8 40
4 40 10 40
El polinomio dado también se representa
15...
Profa. Alejandra Alvarado A.
MÉTODOS DE FACTORIZACIÓN
•
Factor común
Si cada término de un polinomio tiene un factor común, podemos expresar el polinomio
como el producto de dos factores, uno de los cuales es el factor común.
Éste método es el que primero se trata de utilizar al estar frente a un ejercicio de
factorización.
A continuación sepresenta un ejemplo detallado de cómo factorizar un polinomio en
varias variables, y con términos cuyos coeficientes son enteros.
7
3
5
9
2
4
Ejemplo: P(x, y, z) = 20x y + 4x y − 8x y z
Pasos a seguir
Aplicación en el ejemplo dado
1. Calculamos el Máximo Común Divisor
(MCD) del valor absoluto de los coeficientes
numéricos del polinomio.
2. Seleccionamos las variables queaparecen
en todos los términos del polinomio, éstas
estarán presentes en el factor común.
20 4 8 2
4
10 2 4 2
5 1 2
Las variables “x” y “y” aparecen en todos
los términos. La variable “z” sólo aparece
en el tercer término. Por lo tanto, las
variables seleccionadas son “x” y “y”.
“x” aparece elevada a la 7 en el primer
término, a la 5 en el segundo y a la 2 en
el tercero, por lo tanto,nos quedamos
3. Tomamos una de esas variables
seleccionadas, y la elevamos al menor
exponente con el que aparezca en los
términos del polinomio.
4. Lo mismo se hace para el resto de las
variables que aparecen en todos los términos
del polinomio.
5. La multiplicación de los términos obtenidos
en los pasos anteriores es el factor común.
6. El otro factor se obtiene dividiendo elpolinomio original por el factor común.
2
con x .
En el caso de la variable “y” nos
3
quedamos con y .
2
3
El factor común en este caso es 4x y .
(20x y
7
3
5
9
2
4
+ 4x y − 8x y z
) ÷ 4x y
2
3
= 5x 5 + x 3 y 6 − 2yz
7. Si el factor obtenido antes no se puede
factorizar, hemos terminado, y la factorización
completa es la multiplicación de éste y elfactor común.
P(x, y, z)
7
3
5
9
2
4
= 20x y + 4x y − 8x y z
2
3
(
5
3
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= 4x y 5x + x y − 2yz
)
Los pasos anteriormente señalados suelen hacerse de manera mental, por lo cual, el
procedimiento de factor común abarca una o dos líneas.
1
Resumen: Métodos de Factorización
Profa. Alejandra Alvarado A.
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2
Observeeste otro ejemplo: 3x y − 11x y + x y = x y
3
(3x y
5
6
2
)
2
− 11x y + 1 .
Nota: En este tipo de ejercicios donde el segundo factor contiene un término que es
solamente un número (en este caso 1) es importante no olvidar escribirlo, puesto que si
se omite, la multiplicación de la derecha no sería igual al polinomio dado.
Ahora, estudiemos el caso de polinomios envarias variables, donde sus términos
contienen coeficientes fraccionarios.
Ejemplo: P(x, y) =
3 2
9
21
x y − x3y8 + x7y2
8
4
10
Pasos a seguir
1. Calculamos el Mínimo Común Múltiplo
(MCM) de los denominadores de las
fracciones, el cual será utilizado para
homogenizarlas.
2. Homogenizamos las fracciones y
encontramos otra representación del
polinomio dado.
3. Calculamos elMáximo Común Divisor
(MCD) de los numeradores de las fracciones
obtenidas.
4. El coeficiente numérico del factor común
es la fracción cuyo numerador es el
calculado en la parte 3, y el denominador es
el mismo de las fracciones homogéneas. El
coeficiente literal del factor común se obtiene
como se explicó en el ejemplo anterior.
5. El otro factor también se obtiene al dividir
el polinomio de laparte 2 por el factor
común, como en el ejemplo anterior.
6. Si el factor obtenido antes no se puede
factorizar, hemos terminado, y la
factorización completa es la multiplicación de
éste y el factor común.
Aplicación en el ejemplo dado
8 4 10 2
4 2
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40
2 1
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1 1
5
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1 1
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3 15
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=
,
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El polinomio dado también se representa
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