Factorización

Tema: FACOTRIZACIÓN

Historia factorización 

La factorización ha sido un tema del cual han tratado numerosos matemáticos importantes, haciendo un recorrido por la historia de las matemáticas, específicamente con la solución de ecuaciones poli nómicas con coeficientes racionales. 
La factorización es una de las herramientas más empleadas en el trabajo matemático para “transformar” unaexpresión algebraica de manera conveniente, para resolver algún problema. 
Tiene una importancia apreciable a través de la historia, es la solución de ecuaciones algebraicas; de hecho, en un primer momento, la factorización surge ante la 
necesidad de solucionar ecuaciones de segundo grado. 
Los babilonios, fueron los primeros que resolvieron, ecuaciones cuadráticas

En unas tablillas descifradaspor Neugebaveren 1930, cuya antigüedad es 
de unos 4000 años, se encontraron soluciones a varias de estas ecuaciones, empleando el método conocido actualmente como “completar el cuadrado”. 
Hace unos 4.000 años, los babilonios conocían la manera de encontrar la solución positiva de ciertos tipos de ecuaciones cuadráticas. Tenían una "receta" muy precisa para resolver ecuaciones del tipo

Eltrabajo de los babilonios constituyó un logro notable, teniendo en cuenta que no contaban con la notación moderna y por su alto nivel de abstracción, al considerar las ecuaciones cuarticas como ecuaciones cuadráticas “disfrazadas” y resolverlas como tales. 
Más adelante, matemáticos griegos, hindúes, árabes y europeos se dedicaron al estudio de estas ecuaciones y lograron avanzar a través deltiempo hasta encontrar la fórmula para resolver cualquier ecuación de segundo grado, es decir, una ecuación de la forma

En el álgebra lineal, la factorización o descomposición LU (del inglés Lower-Upper) es una forma de factorización de una matriz como el producto de una matriz triangular inferior y una superior. Debido a la inestabilidad de este método, deben tenerse en cuenta algunos casosespeciales, por ejemplo, si uno o varios elemento de la diagonal principal de la matriz a factorizar es cero, es necesario pre multiplicar la matriz por una o varias matrices elementales de permutación. Método llamado factorización  o  con pivote. Esta descomposición se usa en el análisis numérico para resolver sistemas de ecuaciones (más eficientemente) o encontrar las matrices
Definiciones
Sea Auna matriz no singular (si lo fuera, entonces la descomposición podría no ser única)

Donde L y U son matrices inferiores y superiores triangulares respectivamente.
Para matrices, esto es:

Por otro lado la descomposición PLU tiene esta forma:

Con  matrices triangulares inferiores,  matrices de permutación y  una matriz triangular superior.
Para determinar:

y cada  está dado por:
 = Esto se debe a que  es igual a , pero con los elementos de la subdiagonal permutados.
Otra forma de ver éste tipo de factorización es:  Recordando que las matrices de permutación matriz permutación son invertibles y su inversa es su traspuesta

Caso I - Factor común 

Sacar el factor común es extraer la literal común de un polinomio, binomio o trinomio, con el menor exponente y el divisor comúnde sus coeficientes. 

Factor común monomio 

Factor común por agrupación de términos 

ab + ac + ad = a ( b + c + d) 
ax + bx + ay + by = (a + b )( x + y ) 

Factor común polinomio 

Primero hay que sacar el factor común de los coeficientes junto con el de las variables (la que tenga menor exponente) para luego operar; ejemplo: 

ab - bc = b(a-c) 

Caso II - Factor común poragrupación de términos 

Para trabajar un polinomio por agrupación de términos, se debe tener en cuenta que son dos características las que se repiten. Se identifica porque es un número par de términos. Para resolverlo, se agrupan cada una de las características, y se le aplica el primer caso, es decir: 

ab+ac+bd+dc = (ab+ac)+(bd+dc) 
= a(b+c)+d(b+c) 
= (a+d) (b+c) 

Caso III - Trinomio...