Fenomenos

Ecuaciones de continuidad y cantidad de movimiento.

7

LA ECUACION DE CONTINUIDAD EN DISTINTOS SISTEMAS COORDENADOS
Coordenadas rectangulares (x,y,z):

∂ρ ∂ (ρv x ) + ∂ ρv y + ∂ (ρv z ) = 0 + ∂t ∂x ∂y ∂z

(

)

Coordenadas cilíndricas (r, θ, z): ∂ρ 1 ∂ (ρrv r ) + 1 ∂ (ρv θ ) + ∂ (ρv z ) = 0 + ∂t r ∂r r ∂θ ∂z

Coordenadas esféricas (r, θ, φ):
∂ρ 1 ∂ 1 ∂ (ρv θ sen θ) + 1 ∂ (ρv φ )= 0 + 2 ρr 2 v r + ∂t r ∂r r sen θ ∂θ r sen θ ∂φ

(

)

Ecuaciones de continuidad y cantidad de movimiento.

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LA ECUACION DE MOVIMIENTO EN COORDENADAS RECTANGULARES (x, y, z):
En función de τ:

Componente x:

∂v x ∂v x ∂v x ⎛ ∂v ⎜ ρ⎜ x + v x + vy + vz ∂x ∂y ∂z ⎝ ∂t Componente y:

⎞ ∂P ⎛ ∂τ xx ∂τ yx ∂τ zx ⎟=− −⎜ + + ⎟ ∂x ⎜ ∂x ∂y ∂z ⎠ ⎝

⎞ ⎟ + ρg x ⎟ ⎠

∂v y ∂v y ∂v y ⎞ ⎛ ∂vy ∂P ⎛ ∂τ xy ∂τ yy ∂τ zy ⎟=− −⎜ + + ρ⎜ + vx + vy + vz ⎜ ∂t ∂y ⎜ ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z ⎟ ⎠ ⎝ ⎝
Componente z:

⎞ ⎟ + ρg y ⎟ ⎠

∂v z ∂v z ∂v ⎛ ∂v ρ⎜ z + v x + vy + vz z ⎜ ∂t ∂x ∂y ∂z ⎝

⎞ ∂P ⎛ ∂τ xz ∂τ yz ∂τ zz ⎟=− −⎜ + + ⎟ ∂z ⎜ ∂x ∂y ∂z ⎠ ⎝

⎞ ⎟ + ρg z ⎟ ⎠

En función de los gradientes de velocidad para un fluido newtoniano de ρ y µ constantes:

Componente x:

∂v x ∂v x ∂v x ⎞ ⎛ ∂v ∂p ⎛∂ 2 v x ∂ 2 v x ∂ 2 v x ⎟=− ρ⎜ x + v x + vy + vz + ⎜µ + + ⎜ ∂t ⎟ ∂x ∂y ∂z ⎠ ∂x ⎜ ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 ⎝ ⎝
Componente y:
⎛ ∂ 2v y ∂ 2v y ∂ 2v y ∂v y ∂v y ∂v y ⎞ ⎛ ∂v y ∂p ⎟=− ρ⎜ + vx + vy + vz + µ⎜ + + ⎜ ∂t ⎜ ∂x 2 ∂x ∂y ∂z ⎟ ∂y ∂y 2 ∂z 2 ⎝ ⎠ ⎝

⎞ ⎟ + ρg x ⎟ ⎠
⎞ ⎟ + ρg y ⎟ ⎠

Componente z:

⎛ ∂ 2v z ∂ 2v z ∂ 2v z ∂v z ∂v z ∂v ⎞ ⎛ ∂v ∂P + vy + vz z ⎟ = − ρ⎜ z + v x + µ⎜ + + ⎜ ⎜ ∂x 2 ∂x ∂y ∂z ⎟ ∂z ∂y2 ∂z 2 ⎝ ∂t ⎠ ⎝

⎞ ⎟ + ρg z ⎟ ⎠

Ecuaciones de continuidad y cantidad de movimiento.

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LA ECUACION DE MOVIMIENTO EN COORDENADAS CILINDRICAS (r, θ, z):
En función de τ: Componente r:
2 ⎛ ∂v r ∂v r v θ ∂v r v θ ∂v ⎞ ∂P ⎛ 1 ∂ 1 ∂τ rθ τ θθ ∂τ rz ⎜ ρ + vr + − + vz r ⎟ = − −⎜ ⎜ r ∂r (rτ rr ) + r ∂θ − r + ∂z ⎜ ∂t ⎟ ∂r ∂z ⎠ ∂r ⎝ r ∂θ r ⎝

⎞ ⎟ + ρgr ⎟ ⎠

Componente θ:
∂v θ v θ ∂v θ v rv θ ∂v θ ⎞ ⎛ ∂v 1 ∂P ⎛ 1 ∂ 2 1 ∂τ θθ ∂τ zθ ρ⎜ θ + Vr ⎜ + + + vz v⎟ = − −⎜ 2 ⎟ ⎜ ∂r (r τ rθ ) + r ∂θ + ∂z ∂r ∂z ⎠ r ∂θ ⎝ r r ∂θ r ⎝ ∂t ⎞ ⎟ + ρg θ ⎟ ⎠

Componente z:
∂v z v θ ∂v z ∂v z ⎛ ∂v ρ⎜ z + v r + + vz ⎜ ∂t r ∂θ ∂z ∂r ⎝ ⎞ ∂P ⎛ 1 ∂ 1 ∂τ θz ∂τ zz ⎟=− −⎜ ⎟ ⎜ r ∂r (rτ rz ) + r ∂θ + ∂z ∂z ⎝ ⎠ ⎞ ⎟ + ρg z ⎟ ⎠

En función de los gradientes de velocidad para un fluido newtoniano de ρ y µconstantes: Componente r:
2 ∂v r v θ ∂v r v θ ∂v ⎞ ∂P + − + vz r ⎟ = − ⎟ r ∂θ r ∂r ∂r ∂z ⎠ ⎝ ∂t 2 ⎡ ∂ ⎛1 ∂ 2 ∂v θ ∂ 2 v r ⎤ ⎞ 1 ∂ vr (rv r )⎟ + 2 2 − 2 + µ⎢ ⎜ + ⎥ + ρgr r ∂θ ∂z 2 ⎥ ⎠ r ∂θ ⎢ ∂r ⎝ r ∂r ⎦ ⎣

ρ⎜ ⎜

⎛ ∂v r

+ vr

Componente θ:
ρ⎜ ⎜
v ∂v θ v r v θ ∂v ∂v ⎛ ∂v θ + + vz θ + vr θ + θ r ∂θ r ∂z ∂r ⎝ ∂t 1 ∂P ⎞ ⎟=− ⎟ r ∂θ ⎠

2 2 ⎡ ∂ ⎛1 ∂ 2 ∂v r ∂ v θ ⎤ ⎞ 1 ∂ vθ (rv θ )⎟ + 2 2 + 2 + + µ⎢ ⎜⎥ + ρgθ r ∂θ ∂z 2 ⎥ ⎠ r ∂θ ⎢ ⎣ ∂r ⎝ r ∂r ⎦

Componente z:
⎡1 ∂ ⎛ ∂v z ∂v z ⎞ ∂v z v θ ∂v z ⎛ ∂v ∂P + vz + µ⎢ + ⎟=− ρ⎜ z + v r ⎜r ⎜ ⎜ ∂t ⎟ r ∂θ ∂z ⎠ ∂z ∂r ⎝ ⎢ r ∂r ⎝ ∂r ⎣
2 2 ⎞ 1 ∂ vz ∂ vz ⎤ + ⎟+ 2 ⎥ + ρg z ⎟ 2 ∂z 2 ⎥ ⎠ r ∂θ ⎦

Ecuaciones de continuidad y cantidad de movimiento.

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LA ECUACIÓN DE MOVIMIENTO EN COORDENADAS ESFÉRICA (r, θ, Φ)
En función de los esfuerzos (τ): Componente r:2 2 ⎛ ∂v ⎜ r + v ∂v r + v θ ∂v r + v φ ∂v r − v θ + v φ ρ r ⎜ ∂t r ∂θ r sen θ ∂φ r ∂r ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

=−

∂τ rφ τ θθ + τ φφ ⎞ 1 ∂P ⎛ 1 ∂ 2 ∂ ⎟ + ρgr (τ rθ Senθ) + 1 r τ rr + −⎜ 2 − ⎟ r sen θ ∂θ r sen θ ∂φ r ∂r ⎜ r ∂r ⎝ ⎠

(

)

Componente θ:
2 ⎛ ∂v ⎞ ⎜ θ + v ∂v θ + v θ ∂v θ + v φ ∂v θ + v r v θ − v φ ⋅ cot θ ⎟ ρ r ⎜ ∂t ⎟ r ∂θ r sen θ ∂φ r r ∂r ⎝ ⎠

=−

∂τ θφ τ rθ cot θ ⎞ 1 ∂P ⎛ 1 ∂2 1 ∂ (τ θθ sen θ) + 1 −⎜ 2 ⋅ r τ rθ + + − τ φφ ⎟ + ρg θ ⎟ r ∂θ ⎜ r ∂r r sen θ ∂θ r sen θ ∂φ r r ⎠ ⎝

(

)

Componente φ: ∂v φ v θ ∂v φ v φ ∂v φ v r v φ v φ v θ cot θ ⎞ ⎛ ∂v φ ⎟ + + + ρ⎜ + vr + ⎜ ∂t ⎟ ∂r r ∂θ r sen θ ∂φ r r ⎝ ⎠
=− ⎞ 1 ∂τ θφ 1 ∂τ φφ τ rφ 2 cot θ 1 ∂P ⎛ 1 ∂ 2 ⎜ −⎜ 2 r τ rφ + + + + τ θφ ⎟ + ρg φ ⎟ r sen θ ∂φ ⎝ r ∂r r ∂θ r sen θ ∂φ r r ⎠

(

)

En función de los...