Filosofo

NUMEROS REALES


OBJETIVO.-

Dar a conocer al aluno el campo de los números reales, con lo que se va a trabajar en calculo I.


1. El Sistema de los números reales.


El conjunto de losnúmeros reales simbolizados por IR, comprende a los números racionales (Q) e irracionales (Q’), por tanto incluye a los positivos IR; negativos IR- el cero (0), enteros (Z), Fraccionarios (Z’)naturales(N).


El cálculo I, opera con los números reales, de amanera que todos los análisis a realizar se efectuarán con esta clase de números.


2. Propiedades de los IR


Son lossiguientes: Si a, b, c, ( IR


A1 : a + b = b + a
A2 : a + (b+c) = (a+b)+c
A3 : a + 0 = a
A4 : a + (-a) = 0
A5 : a.b = b.a
A6 : a(b.c) = (a.b).c
A7 : a.1 = a
A8 : a(a-1) = 1
A9 : a(b+c) = ab+ac
A10 : a > 0 , b > 0 => a + b > 0
A > 0 , b > 0 => a.b > 0
A 11 : a es positivo (a > 0)
a es cero (a = 0) Ley de tricotomía
a no es positivo (a < 0)Ejemplos:

Demostrar los siguientes teoremas de los números reales.

1) Si a + c = b + c => a = b

Demostración:


a + c = b 6 c Partiendo de la proposición original
(-c) = (-c)Existencia del opuesto.
(a + c) + (-c) = (b+c) + (-c) Sumando ambos miembros de la igualdad.
a + [c+(-c)] = b + [c+(-c)] Asociatividad de la suma
a + 0 = b + 0 Existencia del opuesto
a = b(Existencia del neutro aditivo)
l.q.q.d

2) Demostrar : a2 + b2 + c2 ( ab + ac + bc , (a,b,c ( IR
(a-b)2 > 0 => a2 – 2ab + b2 ( 0 => a2 + b2 ( 2ab
(a-c)2 ( 0 => a2 – 2ac + c2 ( 0 => a2 + c2( 2ac
(b-c)2 ( 0 => b2 – 2ac + c2 ( 0 => b2 + c2 ( 2bc
2a2 + 2b2 + 2c2 ( 2ab+2ac+2bc/2
a2 + b2 + c2 ( ab + ac + bc.
l.q.q.d.



PRACTICA

1)Demostrar : a2 + b2 + c2 ( ab + ac + bc. ( a, b, c ( IR

2) Demostrar : a2 + b2 = 1; c2 + d2 = 1 => ac + bd ( 1

3) Demostrar : (a+b) (b+c) (a+c) ( 8 abc
Siendo a, b y c números positivos...