Filtros circuitos

5º Curso-Tratamiento Digital de Señal

Diseño de Filtros Digitales
(Parte 2)
Ì

Filtros FIR
x x

Secuencias Simétricas Técnicas de Diseño de Filtros FIR
3 3 3

Método de las Series de Fourier Método de Muestreo en Frecuencia Métodos Iterativos basados en condiciones óptimas

x

Diseño de Filtros FIR con MATLAB
Capítulo 9: Diseño de Filtros Digitales (Parte 2) 1

17/11/99

5ºCurso-Tratamiento Digital de Señal

Secuencias Simétricas
Ì Ì

Ì

Ì

El diseño de filtros FIR requieren la selección de la secuencia que mejor representa la respuesta a impulso de un filtro ideal. Los filtros FIR son siempre estables y son capaces de tener una respuesta de fase que es lineal, lo que equivale a decir que su respuesta tiene un retraso constante. El mayor problema de losfiltros FIR es que para unas especificaciones dadas requieren un filtro de orden mucho mayor que los filtros IIR. Un filtro FIR de longitud M con entrada x[n] y salida y[n] se describe mediante la ecuación diferencia:

y[ n] = b0 x[ n] + b1 x[ n − 1]++bM −1 x[ n − M + 1] =
donde bk son los coeficientes del filtro.

∑ b x[n − k ]
k =0 k

M −1

17/11/99

Capítulo 9: Diseño de FiltrosDigitales (Parte 2)

2

5º Curso-Tratamiento Digital de Señal

Secuencias Simétricas
Ì

Por otra parte podemos expresar la salida del filtro y[n] como una convolución de la entrada x[n] con la respuesta a impulso del filtro h[n]:
y[ n] =
M −1 k =0

∑ h[ k ] ⋅ x[n − k ]

Ì

Ì

Ì

Ya que estas dos ecuaciones son idénticas, y por tanto, los coeficientes bk=h[k]. Se puede demostrarque la respuesta de un filtro FIR es de fase lineal si los coeficientes h[n] cumplen : h[ n ] = ± h[ M − 1 − n ] n = 0,1, , M − 1 Es decir los coeficientes tienen algún tipo de simetría. La función de Transferencia Z del filtro FIR, aplicando esta condición es :
H(z) = ∑h[k]⋅ z−k = h[0]+ h[1]⋅ z−1 + h[2]⋅ z−2 ++ h[M − 2]⋅ z−(M−2) + h[M −1]⋅ z−(M−1) =
k=0 M−1

 −(M−1)/ 2  M −1 (M−3)/ 2(M−1−2k )/ 2 −(M−1−2k )/ 2  ±z h  M impar z  + ∑h[k] z    2  k=0  = (M−1)/ 2  z−(M−1)/ 2 ∑h[k] z(M−1−2k )/ 2 ± z−(M−1−2k )/ 2 M par  k=0 

[

]

[

]

17/11/99

Capítulo 9: Diseño de Filtros Digitales (Parte 2)

3

5º Curso-Tratamiento Digital de Señal

Secuencias Simétricas
Ì

H (z ) = ± H ( z ) De esta última expresión se deduce que z lo que significa que laraíces de H(z) son las mismas que las de H(z-1). Es decir las raíces (en este caso, los ceros) ocurren en pares recíprocos. Si z1 es un cero de H(z), 1/z1 es también un cero. Además, si z1 es un cero complejo, su conjugado z1* es también un cero, 2 *. así como 1/z1
− ( M −1) −1
1.5 1

0.5

0

-0.5

-1

-1.5

-2 -1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

17/11/99

Capítulo 9:Diseño de Filtros Digitales (Parte 2)

4

5º Curso-Tratamiento Digital de Señal

Secuencias Simétricas
Ì

La longitud N de una secuencia simétrica puede ser par o impar. Esto significa que el punto medio cae en un punto de la secuencia si N es impar y entre dos puntos si N es par. Como tengo dos tipos de simetría (par o impar), tendré cuatro posibles tipos de secuencias simétricas, las cualesse muestran en la Tabla 1 junto con la DTFT de cada secuencia.

Secuencias Simétricas L=½(N-1), M=½N, F es la frecuecia digital=f/fs, donde fs es la frecuencia de muestreo Tipo Simetría N H(F) |H(0)| |H(½)| L L L h[0 ] + 2 ∑ k =1 h[k ]cos(2 kπF ) h[0 ] + 2 ∑ k =1 h[k ] h[0 ] + 2 ∑ k =1 (−1)k h[k ] 1 Par Impar 2 3 4
4

Par Impar Impar

Par Impar Par

2 ∑ k =1 h [k ]cos [2π F (k −
M

1 2)]
)]

− j 2 ∑ k =1 h [k ]sin [2π F (k −
M

− j 2 ∑ k =1 h[k ]sin(2 kπF )
L
1 2

2 ∑ k =1 h[k ]
L

0 0
−2 ∑ k =1 (−1)k h[k ]
M

0 0

Tabla 1: Secuencias Simétricas

17/11/99

Capítulo 9: Diseño de Filtros Digitales (Parte 2)

5

5º Curso-Tratamiento Digital de Señal

Secuencias Simétricas
Ì

De esta tabla se pueden sacar las siguientes conclusiones acerca...