Filtros iir

Capítulo 11

Filtros IIR
11.1 Derivación de la transformación bilineal

La transformación bilineal puede derivarse a partir de la fórmula trapezoidal de integración numérica. El filtro continuo con función de sistema Hc (s) = b s+a (11.1)

es una caracterización de la ecuación diferencial y 0 (t) + ay (t) = bx (t) cuya solución es y (t) − y (t0 ) = Z
t

(11.2)

y 0 (τ ) dτ ,

(11.3)t0

donde y 0 (t) indica la derivada de y (t) respecto de t. La integral en (11.3) se puede aproximar por la regla trapezoidal y (t) − y (t0 ) = Teniendo en cuenta (11.2), y (t) − y (t0 ) = [−ay (t) + bx (t) − ay (t0 ) + bx (t0 )] t − t0 . 2 [y 0 (t) + y0 (t0 )] (t − t0 ) . 2

Notando t = nT, t0 = nT − T, es t − t0 = T. Además, si y (nT ) ≡ y[n], x (nT ) ≡ x[n], se obtiene la ecuación adiferencias ¶ µ ¶ µ aT bT aT y[n] − 1 − y[n − 1] = (x[n] + x[n − 1]) . 1+ 2 2 2 Aplicando la transformada Z, µ ¶ µ ¶ ¢ aT aT bT ¡ 1+ Y (z) − 1 − z −1 Y (z) = 1 + z −1 X(z), 2 2 2 1

2

CAPÍTULO 11. FILTROS IIR

de modo que la ecuación de sistema del filtro discreto es ¡ ¢ bT −1 Y (z) 2 1+z ¡ ¢ = H(z) = X(z) 1 + aT − 1 − aT z −1 2 2 que se puede escribir como b . 2 1 − z −1 +a T 1 + z −1Comparando (11.1) con (11.4) resulta que H (z) = H (z) = Hc (s)|
2 1−z −1 s= T 1+z −1

(11.4)

,

o, en otras palabras,que se mapea el plano complejo s en el plano complejo z según la transformación bilineal 2 1 − z −1 s= . T 1 + z −1 Aunque la derivación se obtuvo para una ecuación diferencial de primer orden, es válida en general para una ecuación diferencial de orden N.

11.2

Ejemplos dediseño

Ejemplo 11.1 Diseño de un pasabajos por invariación al impulso
El siguiente es el listado de comandos en MATLAB para diseñar un filtro IIR tipo pasabajos, con las especificaciones que se listan a continuación:
% % % % % % % Especificaciones del filtro Característica pasabajos Tipo Butterworth banda de paso: [0 0.5*pi] banda de rechazo: [0.8*pi pi] Atenuación en la banda de paso: 3 dbAtenuación en la banda de rechazo: 20 db = = = = 0.5*pi; 0.8*pi; 3; 20;

wp ws Rp Rs

% ‘‘Traducción’’ de las especificaciones para el filtro continuo. % Elijo T arbitrariamente (pruebe a elegir otros valores de T, % y observe que obtiene el mismo filtro discreto); T = 0.2; Fs = 1/T; Wp = wp/T; Ws = ws/T; % Diseño del filtro analógico % Estimo el orden del filtro [N,Wn] = buttord(Wp,Ws,Rp,Rs,’s’);% Diseño el filtro [na,da] = butter(N,Wn,Fs); % Convierto el diseño a un filtro discreto [nd,dd] = impinvar(na,da,Fs); % Ploteo el filtro freqz(nd,dd)

Los coeficientes de los polinomios numerador y denominador del filtro son

11.2. EJEMPLOS DE DISEÑO

3

0

|H(ejω)| [dB]

−10 −20 −30 0

π/2

π ω

Fig. 11.1: Respuesta en frecuencia del filtro pasabajos (no se cumplen lasespecificaciones).

0

|H(ejω)| [dB]

−10 −20 −30 0 0

π/2

π ω

arg[H(ejω)]| [grados]

−100 −200 −300 −400 0

π/2

π ω

Fig. 11.2: Respuesta en frecuencia del diseño corregido.

0.6 0.4 0.2 0 −0.2 0

y[n], T×y(t)

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

nT, t [s] Fig. 11.3: Respuesta impulsiva del filtro continuo (línea de trazos) y del filtro discreto.

4

CAPÍTULO 11.FILTROS IIR

3

2

1

Imag

0

−1

−2

−3

−7

−6

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

Real Fig. 11.4: Diagrama de polos y ceros del sistema discreto.
nd = -0.0000 0.1362 dd = 1.0000 -0.6090 0.4609 0.1703 0.5589 -0.2267 0.0064 0.0000 0.0552 -0.0059

La gráfica de la respuesta en frecuencia en módulo y fase se observa en la Fig. 11.1. El diseño no cumple con lasespecificaciones en la banda de rechazo: en 0.8π la atenuación es menor que 20 dB. (¿A qué se debe este fenómeno?) El problema se soluciona aumentando en una unidad el orden del filtro analógico. Los coeficientes del nuevo filtro son
nd = 0.0000 0.0442 dd = 1.0000 -0.7277 0.3470 0.3060 0.7376 -0.3663 0.0471 0.0008 0.1238 -0.0245 0.0000 0.0022

por lo que la función de sistema del filtro es ¢ ¡ z −1...