fisica

4.4 Centroide de una región plana y teorema de Pappus

4.4

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Centroide de una región plana y teorema de Pappus

Considere una lámina de densidad constante, representada por una región plana limitada por
una curva. Con la ayuda de la integral definida encontraremos una expresión para calcular el centro de masa de esta lámina; esto es el punto de apoyo, llamado centroide, sobre el cualla lámina
se encuentra en equilibrio.
Supongamos entonces que la región plana R representa una lámina de densidad constante. Para
obtener el centroide de R usamos los siguientes principios de la física:
a) Principio de simetría:
Si la región R tiene un eje de simetría, entonces el centroide (x , y ) se encuentra sobre dicho
eje. En particular, si la región R tiene un centro, entonces elcentro es el centroide.
b) Principio de aditividad:
Si una región R tiene área A(R), y está formada por un número finito de regiones R1 , R2 , . . . , Rn
de área A 1 , A 2 , . . . , A n y centroides (x 1 , y 1 ), (x 2 , y 2 ), . . . , (x n , y n ) respectivamente, entonces el
centroide de la región R esta dado por (x , y ), donde
1
x 1A 1 + x 2A 2 + . . . + x n A n ,
A(R)
1
y=
y A 1 + y 2A 2+ . . . + y n A n .
A(R) 1
x=

Proposición 4.1. Sea R la región del plano acotada por la curva y = f (x ), el eje X y las rectas verticales x = a y x = b . Si f es una función continua y no negativa sobre el intervalo [a ,b ] y el área de
la región R es A(R), entonces el centroide de R está ubicado en el punto (x , y ), donde
1
x=
A(R)

b

x f (x ) dx ,
a

Demostración. Considereuna partición

y

1
y=
A(R)

b

a

1
( f (x ))2 dx .
2

del intervalo [a ,b ]; es decir,

a = x 0 < x 1 < x 2 < . . . < x n−1 < x n = b.
La partición

permite dividir al intervalo [a ,b ] en n subintervalos [x 0 , x 1 ], [x 1 , x 2 ], . . . , [x n −1 , x n ]

de longitud ∆x 1 , ∆x 2 , . . . , ∆x n respectivamente. Sobre cada subintervalo [x k −1 , x k ] se elige t k como puntomedio del intervalo [x k −1 , x k ], para k = 1, 2, . . . , n . De esta manera, sobre cada subintervalo se construyen rectángulos R k de base ∆x k y altura f (t k ). Por lo tanto, el área de R k es f (t k )∆k
1
y su centroide se encuentra en el punto (t k , f (t k )). Luego, por el principio de aditividad las coor2
denadas del centroide de la unión R de todos los rectángulos R k , para k = 1,2, . . . , n son dadas por
las siguientes expresiones
n

t k f (t k )∆x k
1
A(R)

t 1 f (t 1 )∆x 1 + t 2 f (t 2 )∆x 2 + . . . + t n f (t n )∆x n =

k =1
n

f (t k )∆x k
k =1

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Capítulo 4: Aplicaciones de la Integral

y
n

1
1
1
( f (t 1 ))2 ∆x 1 + ( f (t 2 ))2 ∆x 1 + . . . + ( f (t n ))2 ∆x n + =
2
2
2

1
A(R)

k =1

1
f (t k )
2

2

∆x k
,

n

f(t k )∆x k
k =1

donde A(R) representa el área de la unión de los n rectángulos R k . Por lo tanto, cuando la norma
de la partición

tiende a cero, la unión R de los rectángulos tiende a la forma de la región R, y de

esta manera se cumple
n

t k f (t k )∆x k

l´m
ı

x=

n →+∞

k =1
n

f (t k )∆x k

l´m
ı

n →+∞

b

1
=
A(R)

x f (x ) dx .
a

k =1

Enforma análoga, se tiene que
n

1
( f (t k ))2 ∆x k
2

l´m
ı

y=

n →∞

k =1
n

f (t k )∆x k

l´m
ı

n →∞

=

1
A(R)

b

a

1
( f (x ))2 dx .
2

k =1

Ejemplo 4.4.1. Calcule las coordenadas del centroide de la región R limitada por la gráfica de la
a 2 − x 2 , a > 0 y el eje X .

función f (x ) =
Solución

1
La región R es un semi-círculo, entonces el áreaes A(R) = πa 2 . Asimismo, R es simétrica respecto
2
al eje Y , el centroide de R se encuentra sobre dicho eje. Luego, x = 0. Para encontrar y usamos la
proposición (4.1),

1
y=
A(R)
=
=

2
πa 2
1
πa 2

a

−a
a

−a
a

−a

Y

1
f (x )
2
1
2

2

2

a 2 − x 2 dx =
a
0

a2 − x2

dx

a2 −x2

2
x3
=
a 2x −
πa 2
3

f (x) =

4a
=
.
3π

dx
2...