fisica

1. Introducci´n: longitud de una curva
o
Integrales de
Linea. Teorema
de Green.
Teorema
fundamental del
C´lculo
a
Vectorial
Introducci´n: . . .
o
Integral de linea de . . .
Integral de linea de . . .
Teorema de Green
Teorema . . .

La idea para calcular la longitud de una curva contenida en el plano o en el espacio consiste en
dividirla en segmentos peque˜os, escogiendo unafamilia finita de puntos en C, y aproximar la
n
longitud mediante la longitud de la poligonal que pasa por dichos puntos.
Cuantos m´s puntos escojamos en C, mejor ser´ el valor obtenido como aproximaci´n de la
a
a
o
longitud de C.

C
Integrales de
Linea. Teorema
de Green.
Teorema
fundamental del
C´lculo
a
Vectorial
Introducci´n: . . .
o
Integral de linea de . . .
Integral de lineade . . .
Teorema de Green
Teorema . . .

C
Integrales de
Linea. Teorema
de Green.
Teorema
fundamental del
C´lculo
a
Vectorial
Introducci´n: . . .
o
Integral de linea de . . .
Integral de linea de . . .
Teorema de Green
Teorema . . .

C
Integrales de
Linea. Teorema
de Green.
Teorema
fundamental del
C´lculo
a
Vectorial
Introducci´n: . . .
o
Integral de linea de . ..
Integral de linea de . . .
Teorema de Green
Teorema . . .

Para ello, escogemos una parametrizaci´n α : [a, b] −→ Rn de C, y una partici´n P = {a =
o
o
t0 ≤ t1 ≤ t2 ≤ · · · ≤ tk = b}, y calculamos aproximadamente la longitud del arco α([ti , ti+1 ])
como la longitud del segmento [α(ti ), α(ti+1 )].
Utilizando la norma eucl´
ıdea en Rn , y aplicando a las coordenadas de α el teoremadel valor
medio en el intervalo [ti , ti+1 ],

n

|αj (ti+1 ) − αj (ti )|2

L(α([ti , ti+1 ])) = α(ti+1 ) − α(ti ) =
Integrales de
Linea. Teorema
de Green.
Teorema
fundamental del
C´lculo
a
Vectorial

j=1

y
|αj (ti+1 ) − αj (ti )| = |αj (si )||ti+1 − ti |
con si ∈ [ti , ti+1 ]
Utilizamos ahora que como αj es de clase C 1 , su derivada es continua, por lo que si los intervalos[ti , ti+1 ] son suficientemente peque˜os podemos suponer que αj (si ) = αj (ti ), y sustituyendo
n
en la f´rmula anterior queda
o

Introducci´n: . . .
o
Integral de linea de . . .
Integral de linea de . . .
Teorema de Green

n

α(ti+1 ) − α(ti )

|αj (ti )|2 |ti+1 − ti |2 =

=
j=1

Teorema . . .

=

α (ti ) |ti+1 − ti |

As´ la longitud total de la curva es
ı
k−1L(C) =

k−1

α (ti ) |ti+1 − ti |

L(α([ti , ti+1 ])) =
i=0

i=0

Integrales de
Linea. Teorema
de Green.
Teorema
fundamental del
C´lculo
a
Vectorial
Introducci´n: . . .
o
Integral de linea de . . .
Integral de linea de . . .
Teorema de Green

El valor de este sumatorio est´ entre los valores de la suma inferior y la suma superior de
a
Riemann de la funci´n g(t) = α (t)asociadas a la partici´n P . Si tomamos particiones de
o
o
[a, b] cada vez m´s finas, y dado que g(t) = α (t) es integrable por ser continua, las sumas
a
superiores e inferiores tienden a la integral de Riemann, y se obtiene la definici´n de la longitud
o
de C como
b

L(C) =

α (t) dt
a

Sin embargo, seg´n esta definici´n, aparentemente la longitud de una curva depender´ de
u
o
ıa
laparametrizaci´n α que se utilice para representarla. El siguiente teorema muestra que gracias
o
la equivalencia entre las parametrizaciones de una curva regular y simple, la f´rmula anterior no
o
depende de α.
Teorema. Sea C una curva regular y simple en Rn , y α : [a, b] −→ Rn , β : [c, d] −→ Rn dos
parametrizaciones de C. Se tiene que
b

Teorema . . .

d

α (t) dt =
a

β (s) dsc

Demostraci´n:
o
Sea ψ : [a, b] =⇒ [c, d] la funci´n de cambio de par´metro, biyectiva, de clase C 1 y regular,
o
a
de modo que α = β ◦ ψ. Entonces α (t) = β (ψ(t))ψ (t), y aplicando el teorema de cambio de

variables
d

b

β(ψ(t)) |ψ (t)| dt =

β (s) ds =
Integrales de
Linea. Teorema
de Green.
Teorema
fundamental del
C´lculo
a
Vectorial

c

ψ −1 ([c,d])

α (t)...