Fisica

´
CALCULO VECTORIAL
REPASO
20 de abril de 2012
−→ −→ −→
−−
−
1. Hallar el volumen del paralelep´
ıpedo generado por OP, OQ y OR, donde
O(0,0,0), P(1,2,3), Q(1,1,2) y R(2,1,1).
Soluci´n:Debido a que son vectores posici´n, las componentes de cada
o
o
vector son las mismas que las coordenadas de los puntos. La f´rmula para
o
encontrar el volumen del paralelep´
ıpedo es
123
−→ −→−→
−
−
−
V = |(OP × OQ) · OR| = 1 1 2
211

(1)

vamos a resolver ´ste determinante utilizando el m´todo de cofactores
e
e
12
12
11
−2
+3
11
21
21

(2)

V = −1 + 6 − 3 = 2

V=(3)

y finalmente nos queda
si hubiera salido un n´mero negativo, tendr´
u
ıamos que tomar el valor absoluto
debido a que no hay vol´menes negativos.
u

2. Dada
√
→
−
ˆ
j
f (t) = t ˆ + t +1 ˆ − et k
i
hallar:
→
−
a) el dominio de f (t)
→
−
b) f (0)
1

(4)

→
−
c) f (t)
→
−
d) f (0)
→
−
e) f (t)
→
−
→
−
f) f (t) · f (t)
Soluci´n:
o
→
−
a) Para que unn´mero est´ en el dominio de f tiene que estar en el dominio
u
e
→
−
de cada una de sus componentes. El dominio de f es [−1, ∞).
√
→
−
ˆ
j
b) f (0) = 0 ˆ + 0 + 1ˆ − e0 k
i
→
−
c) f (t) = ˆ+
i

√1 ˆ
j
2 t+1

→
−
d) f (0) = ˆ +
i
→
−
e) | f (t)| =

ˆ
− et k

ˆ
√1
j
2 0+1

ˆi
− e0 k = ˆ + 1 ˆ − k
jˆ
2

√
√
t2 + ( t + 1)2 + (−e−t )2 = t2 + t + 1 + e2t

√
→−
→
−
ˆ
ˆ
j
f) f (t) · f (t) = (tˆ + t + 1ˆ − et k ) · (ˆ + 2√1+1 ˆ − et k ) =
i
j
i
t
√
1
1
= (t)(1) + ( t + 1)( 2√t+1 ) + (−et )(−et ) = t + 2 + e2t

3. Hallar la longitud de lacurva
→(t) = 2t 3 ˆ + 4t ˆ
−
2i
r
j

(5)

desde t = 0 hasta t = 1.
Soluci´n:
o
1
→ (t) = 3t 2 ˆ + 4ˆ
−
r
i
j.
√
1
−
|→ (t)| = (3t 2 )2 + 42 = 9t + 16.
r

2

(6)
(7)

1L(C ) =

1

−
|→ (t)|dt =
r

√

9t + 16dt

(8)

0

0
3
12
= ( )(9t + 16) 2
93

1

=
0

250 128
122
−
=
.
27
27
27

(9)

4. Para la funci´n
o
f (x, y ) =...