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Matemáticas II LE.Tema 4: Introducción a la teoría de integración

1

MÉTODOS DE INTEGRACIÓN
Integrales inmediatas
xα+1

(f(x))α+1

⌠ α
⌡x dx = α+1 + C , si α ≠ -1

⌠(f(x))α f '(x) dx =
⌡

⌠ 1 dx =
⎮2 x
⌡

⌠ f '(x) dx = 2 f(x) + C
⎮2 f(x)
⌡

x+C

⌠1 dx = ln|x| + C
⌡x
ax

α +1

+C,

si α ≠ -1

⌠f '(x) dx = ln|f(x)| + C
⌡ f(x)
af(x)

⌠ax dx =
+ C, si a > 0⌡
lna

⌠af(x) f '(x) dx =
+ C,
⌡
lna

⌠ex dx = ex + C
⌡

⌠ef(x) f '(x) dx = ef(x) + C
⌡

⌠senx dx = -cosx + C
⌡

⌠f '(x) senf(x) dx = -cosf(x) + C
⌡

⌠cosx dx = senx + C
⌡

⌠f '(x) cosf(x) dx = senf(x) + C
⌡

⌠ 1 dx = tgx + C
⎮cos2x
⌡

⌠ f '(x) dx = tgf(x) + C
⎮cos2f(x)
⌡

⌠ 1 dx = -cotgx + C
⎮sen2x
⌡

⌠ f '(x) dx = -cotgf(x) + C
⎮sen2f(x)
⌡

⌠ 1 dx =arcsenf(x) + C
⎮
2
⌡ 1-x

⌠ f '(x) dx = arcsen f(x) + C
⎮
2
⌡ 1-f(x)

⌠ 1
⎮1 + x2 dx = arctgx + C
⌡

⌠ f '(x) dx = arctg f(x) + C
⎮1 + f(x)2
⌡

si a > 0

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2

Integración por cambio de variable
Dada la integral ⌠f(x) dx, si consideramos x como una función de otra variable, x = g(t),
⌡
entonces dx = g'(t) dt, yobtenemos la integral ⌠f(g(t)) g'(t) dt .
⌡
Supuesto que esta segunda integral es más simple que la primera, se resuelve en la
variable t y posteriormente se sustituye t en función de x, t = g-1(x) (para ello g ha de ser
biyectiva). Formalmente, se tiene el siguiente resultado:
Proposición
Sea x = g(t) una función biyectiva y de clase C(1. Si G(t) es una primitiva de f(g(t)) g'(t)
entoncesF(x) = G(g-1(x)) es una primitiva de f(x).
En la práctica, para calcular ⌠f(x) dx, se procederá a calcular:
⌡

⌠f(g(t)) g'(t) dt = G(t) + C
⌡
y, por tanto,
-1
⌠
⌡f(x) dx = G(g (x)) + C = F(x) + C

Integración por partes
Teniendo en cuenta la regla de derivación del producto, (f(x) g(x))' = f '(x) g(x) + f(x) g'(x),
se sigue que ⌠(f(x) g(x))' dx = ⌠f '(x) g(x) dx + ⌠f(x) g'(x) dx , dedonde se obtiene que:
⌡
⌡
⌡

⌠f(x) g'(x) dx = f(x) g(x) - ⌠f '(x) g(x) dx
⌡
⌡
En la práctica, la notación habitualmente utilizada es u = f(x), dv = g'(x) dx y entonces la
fórmula de integración por partes queda:

⌠u dv = u v - ⌠v du
⌡
⌡
Integración de funciones racionales
Se denomina función racional a una función de la forma

p(x)
donde p(x) y q(x) son
q(x)

polinomios en lavariable x.
1. Un tipo especial de funciones racionales son las fracciones simples, que son aquellas
A
Mx + N
que toman la forma
donde ax2 + bx + c no tiene
n con n ∈ N, o
2
(ax + b)
(ax + bx + c)n
raíces reales y n ∈ . (Nota: en este curso sólo se considerará para el segundo tipo de
fracciones simples el caso n = 1)
La integral de una fracción simple se calcula fácilmente como se veen los siguientes
ejemplos:
dx
i) ⌠
= ln|x-3| + C
x-3
⌡

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3

dx
(x-3)-3
-1
1
ii) ⌠
=
+C=
+C
⎮(x-3)4
-3
3 (x-3)3
⌡
dx
2dx
1
1 (2x+1)-2
-1
1
iii) ⌠
= ⌠
=
+C=
+C
⎮(2x+1)3 2 ⎮(2x+1)3 2
-2
4 (2x+1)4
⌡
⌡
dx
x2+3x+5
⌡

iv) ⌠
⎮

⎛
⎝

Se tiene que x2+3x+5 = x +

3 ⎞2
9
3 ⎞2
11
⎛
+5- =x+
+
2⎠
4
2⎠
4
⎝

dx
dx
4
⌠
⌠
=
⎮x2+3x+5 = ⎮⎛
11
3⎞2
11
⌡
⎮⎝x + 2⎠ + 4
⌡

⌠⎛
⎮⎜
⎝
⌡⎜

dx
3 2
x+
2

⎞
⎟
11 ⎟
2 ⎠

=

2
2x + 3
arctg
+C
11
11

+1

x+1
1 ⌠ 2x+2
1 ⌠ 2x+3-1
v) ⌠ 2
⎮x +3x+5 dx = 2 ⎮ x2+3x+5 dx = 2 ⎮ x2+3x+5 dx =
⌡
⌡
⌡
1 ⌠ 2x+3
dx
1
1
1
dx - ⌠ 2
=
ln(x2+3x+5) 2 ⎮ x2+3x+5
2 ⎮ x +3x+5
2
2
⌡
⌡
1
2x+3
1
arctg
+C
=ln(x2+3x+5) 2
11
11
=

2
2x+3
arctg
+C=
11
11

p(x)
2. Para calcular la integral de una función racional cualquiera ⌠
dx, se procederá según
⌡q(x)
los casos siguientes:
r(x)
p(x)
= c(x) +
q(x)
q(x)
donde c(x) y r(x) son los polinomios cociente y resto de la división respectivamente
y por tanto se verifica que grado r(x) < grado q(x). Así,

a) Si grado p(x) ≥ grado q(x),...