FISICA

Física de 2º Bachillerato

Campo gravitatorio

Actividad 1
[a] Enuncia la tercera ley de Kepler y comprueba su validez para una órbita circular.
[b] Un satélite artificial describe una órbita elíptica alrededor de la Tierra, como se indica en la
figura. Las velocidades en los extremos del eje mayor son vA y vB. Si la masa de la Tierra
es M y la constante de la gravitación G, calcula ladistancia AB.
[c] Explica razonadamente si vA es mayor, igual o menor que vB.

Tierra

A

B

Respuesta
[a] Comprueba que a partir de la tercera ley de Kepler se puede deducir la ley de gravitación
universal.
[b] En primer lugar, se dibuja las velocidades, relativas al satélite, en los puntos A y B.
vB
rA Tierra

rB

A

B

vA

El movimiento del satélite está regido por dosleyes de conservación: la del momento
angular y la de la energía mecánica. En consecuencia, se cumple que:



r AvA = r BvB
 , simplificando se llega a: 2
GM
GM 
2
vA − 2 rA = vB − 2 rB 

vB
De la 1ª ecuación se deduce que: r A = v A r B ; llevando este resultado a la 2ª ecuación, escrita
vA
1
1
1
en la forma v 2 − v 2 = 2GM( r B − r A ) , queda: v 2 − v 2 = 2GM( r B − v B r B) ;
B
B
A
A
v B −v A
v 2 − v 2 = 2GM( v B r B ) , de donde se puede obtener el valor de rB:
B
A
1
2
2 mv A

r A mv A = r B mv B
− GMm = 1 mv 2 −
rA
B
2

rB =

2GM(v B −v A )

rA =

2GM
v A (v B +v A )

v B v 2 −v 2
b A

=

GMm
rB

2GM(v B −v A )
v B (v B −v A )(v B +v A )

=

2GM
v B (v B +v A )

. El valor de rA es, entonces,

. Por lo tanto, ladistancia AB es: d AB

= rA + rB =

2GM
v Av B .

[c] El satélite evoluciona sometido a la acción de una fuerza central; en consecuencia, el
momento angular del satélite respecto a la Tierra se conserva, esto es, r A mv A = r B mv B ;
r A v A = r B v B ; como en el punto A el satélite se encuentra más cerca de la Tierra que en el
punto B, la rapidez en A es mayor que la rapidez en B.

©fagm, 22 septiembre 2009

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Campo gravitatorio

Actividad 2
En los Juegos Olímpicos del año terrestre 2124 celebrados en Marte, un atleta marciano obtiene la
medalla de oro en salto de altura al superar el listón colocado a 5,75 m.
[a] Calcula la gravedad en Marte.
[b] Si las pruebas olímpicas se hubieran realizado en la Tierra, calcula la altura quehubiera
podido saltar el atleta marciano.
DATOS: Constante de la Gravitación Universal, G = 6,67—10-11 U.S.I., masa de Marte, M =
6,50—1023 kg, radio de Marte, R = 3400 km, gravedad en la superficie de la Tierra, g = 9,81
m/s².

Respuesta
[a] Hay que entender, en primer lugar, que “gravedad en Marte” significa intensidad del campo
6,50$10 23
M Marte
= 6, 67 $ 10 −11 (3,4$10 6 ) 2 = 3, 75 kg .gravitatorio en su superficie. Por lo tanto, g Marte = G R 2
Marte

[b] Se puede calcular la rapidez con que el atleta marciano inicia el salto. De entre las ecuaciones del MRUA la más significativa ahora es: v²-vo² = 2a∆y; al aplicarla al salto en Marte
queda: 0 − v 2 = 2 $ (−3, 75) $ 5, 75; v 2 = 43, 1; v o = 6, 57( m ). Para calcular la altura en la
s
o
o
Tierra aplicamos la mismaecuación, con la diferencia de que ahora la incógnita es el despla43,1
zamiento vertical: 0 − 43, 1 = 2 $ (−9, 81) $ ¡y; ¡y = 19,6 = 2, 20 m.

© fagm, 22 septiembre 2009

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Campo gravitatorio

Actividad 3
La N.A.S.A. coloca en órbita circular un satélite artificial de 300 kg de masa, de forma que un
observador terrestre, convenientemente situado, podríaverlo inmóvil en el firmamento. Este tipo
de satélite se denomina geoestacionario o geosincrónico y se utiliza principalmente en comunicaciones.
[a] Calcula el radio de la órbita y su altura respecto a la superficie terrestre.
[b] Determina la energía mecánica del satélite en su órbita.
DATOS: Constante de la Gravitación Universal, G = 6,67—10-11 U.S.I., masa de la Tierra, M =
5,97—1024 kg,...