fisica

“Tópicos de Electricidad y Magnetismo”

J.Pozo y R.M. Chorbadjian.

CAPÍTULO II

LEY DE GAUSS

La Ley de Gauss permite determinar el campo eléctrico cuando las distribuciones de cargas
presentan simetría, en caso contrario se debe recurrir a la Ley de Coulomb.
2.1. Flujo eléctrico
El flujo eléctrico se define como el número de líneas de campo que atraviesa a una superficie
dada y quedepende unicamente de la carga encerrada, el cual está representado por la
siguiente ecuación:

Φ=

∫∫ E cosθ ds

(2.1)

r
r
Donde θ es el ángulo entre el vector campo eléctrico E y el vector área ds , luego
r r
Φ = ∫∫ E ⋅ ds

(2.2)

El flujo eléctrico para una superficie cerrada se expresa como:
r r
Φ = ∫∫ E ⋅ ds

(2.3)

2.2. Ley de Gauss

El flujo eléctrico producido poruna carga puntual en una superficie imaginaria cerrada
(superficie gaussiana) de radio r, se puede calcular con la ecuación (2.3) obteniéndose:
Φ=

q

ε0

r r
q
E ⋅ ds = Φ ≡ enc
∫∫

ε0

La ley de Gauss establece que el flujo eléctrico que cruza la superficie gaussiana es igual a la
carga neta encerrada ( q enc ) por la superficie por unidad de la constante de permitividad ( ε 0 ).28

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La ley de Gauss puede ser expresada de forma más general de acuerdo con la siguiente
ecuación:
r

r

1

∫∫ E ⋅ ds = ε ∫ dq
0

donde dq = ρ dυ (para la carga en el volumen υ ), luego
r

r

1

∫∫ E ⋅ ds = ε ∫∫∫ ρ dυ
υ
0

También se puede escribir:
r r 1
E ⋅ ds =
∫∫

∫∫ σ ds

ε0

r

r(para la carga en una superficie dq = σ ds )

s

1

∫∫ E ⋅ ds = ε ∫ λ dl

(para la carga en una línea dq = λ dl )

0

2.2. Problemas resueltos
Problema 2.1

Escriba la Ley de Gauss (eléctrica) en forma diferencial.
Solución:

La ley de Gauss escrita en forma integral está dada por
r

r

1

∫∫ E ⋅ ds = ε ∫∫∫ ρ dυ = ∫∫∫ ( ρ / ε
υ
υ

0

) dυ

0

Utilizando elteorema de la divergencia
r r
r r
E ⋅ ds = ∫∫∫ (∇ ⋅ E ) dυ
∫∫
Comparando las dos últimas ecuaciones, se encuentra
r r ρ
∇⋅E =

ε0
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La expresión anterior, se conoce con el nombre de forma diferencial de la ley de Gauss
eléctrica, y forma parte de una de las ecuaciones de Maxwell, que a su vez corresponde a una
delas cuatro ecuaciones fundamentales del electromagnetismo.

Problema 2.2

Determine el campo eléctrico en la vecindad de un conductor de forma arbitraria.

Solución:

Consideremos un conductor de forma arbitraria como el de la siguiente figura a), sobre el cual
queremos calcular el campo en un punto muy cercano a su superficie.

a)

b)

Si se considera una superficie gaussiana de laforma mostrada en la anterior b) se tiene que la
carga encerrada es σ ds y aplicando la Ley de Gauss:
r r dq
E ⋅ ds =

ε0

donde

sustituyendo se tiene:

dq = σ ds
r r σ
E ⋅ ds =
ds ;

ε0

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como el campo es paralelo al diferencial de superficie en la vecindad del conductor
obtendremos:
E=

σ
ε0Observe que el campo eléctrico para puntos cercanos a la superficie es constante.

Problema 2.3

Una esfera maciza no conductora de radio b, con una cavidad esférica de radio a, tiene una
distribución uniforme de carga y su carga total es Q; Determinar el campo eléctrico en las
regiones que se indican:
a) r < a

b) a < r < b

c) r > b.

Solución:

a) Para r < a:
Primeramente seescoge una superficie gaussiana esférica de radio r, y aplicando la Ley de
Gauss, ecuación (2.6) se tiene que la carga neta encerrada es cero, entonces, E = 0.
b) Para a < r < b:
Igual que en (a), se elige una superficie gaussiana esférica de radio r y de la Ley de Gauss:
r r q
1
E ⋅ ds = enc =
∫∫

ε0

ε0

∫∫∫ ρ dυ
υ

Como la distribución de carga es uniforme, entonces:
r r 1
E ⋅...