fisica

Operadores y Mecánica Cuántica
Antonio M. Márquez
Departamento de Química Física
Universidad de Sevilla
Curso 2013-2014

Problema 1
Demuestre:
a) Que la función Ψ(x) = e−x

2 /2

es función propia del operador Aˆ = x2 − ∂ 2 /∂ x2 .

ˆ
ˆ
b) Que BΨ(x)
(donde Bˆ = x − ∂ /∂ x) es otra función propia de A.
Solución
a) Para que Ψ(x) sea función propia de Aˆ tiene que ocurrir que
ˆAΨ(x)
= a · Ψ(x)
donde a es una constante.
Aplicamos el operador Aˆ a la función
xˆ2 −

∂2
∂ x2

e−x

2 /2

= x2 e−x

2 /2

= x2 e−x

2 /2

−

d 2 −x2 /2
e
=
dx2

− x2 e−x

2 /2

− e−x

2 /2

= e−x

2 /2

que es la misma función, por tanto es función propia del operador Aˆ con valor propio 1.
ˆ
b) Necesitamos obtener BΨ(x)
y comprobar la condiciónindicada en el apartado anterior
en la función resultante
2
2
2
2
∂
ˆ
BΨ(x)
= xˆ −
e−x /2 = x e−x /2 + x e−x /2 = 2 x e−x /2
∂x

y ahora
2
∂2
Aˆ 2xe−x /2 = xˆ2 − 2
∂x

= x2 2xe−x

2 /2

−x2 /2

= 6xe

2xe−x

2 /2

− 2x3 e−x

= 3 · (2 x e

=

2 /2

−x2 /2

− 6xe−x

2 /2

=

)

luego es función propia con valor propio 3.
Problema 2
Evalue el conmutador[d/dx, 1/x2 ] aplicando los operadores a una función arbitraria
f (x).

1

Solución
Aplicamos el conmutador [d/dx, 1/x2 ] a la función f (x)

d
dx

d 1
1 d
d 1
, 2 f (x) =
− 2
f (x) =
2
dx xˆ
dx xˆ
xˆ dx
f (x)
1 d f (x) x2 f (x) − 2x f (x) f (x)
−
=
− 2 =
x2
x2 dx
x4
x
2
= − 3 f (x)
x

luego
2
d 1
f (x) = − 3 f (x)
,
dx xˆ2
x
y
d 1
2
, 2 =− 3
dx xˆxˆ
Problema 3
Evalue el conmutador [x(∂
ˆ /∂ y), y(∂
ˆ /∂ x)] aplicando los operadores a una función arbitraria f (x, y).
Solución
Aplicando el conmutador a una función arbitraria f (x, y), tenemos

xˆ

∂
∂
∂ ∂
∂ ∂
, yˆ
f (x, y) = xˆ yˆ − yˆ xˆ
f (x, y) =
∂y ∂x
∂y ∂x
∂x ∂y
∂
∂ f (x, y)
∂
∂ f (x, y)
= xˆ
yˆ
− yˆ
xˆ
=
∂y
∂x
∂x
∂y
∂ f (x, y)
∂ 2 f (x, y)
∂ f (x, y)∂ 2 f (x, y)
=x
+y
−y
+x
∂x
∂ y∂ x
∂y
∂ x∂ y
2
2
∂ f (x, y)
∂ f (x, y)
∂ f (x, y)
∂ f (x, y)
+ xy
−y
− yx
=
=x
∂x
∂ y∂ x
∂y
∂ x∂ y
∂ f (x, y)
∂ f (x, y)
∂
∂
=x
−y
= xˆ − yˆ
f (x, y)
∂x
∂y
∂x
∂y

=

luego
xˆ

∂
∂
∂
∂
, yˆ
= xˆ − yˆ
∂y ∂x
∂x
∂y

Problema 4
En el caso de que la función de onda que describe un sistema no sea función propia
ˆ seobtienen resultados diferentes cada vez que se realiza una medida
de un operador B,
de la propiedad B correspondiente en sistemas idénticos. La varianza del conjunto de
resultados se define como σB2 = (B − B )2 , donde B es el valor de una medida y B
es la media de todas las posibles medidas. Demuestrese que σB2 = B2 − B 2 , usando
ˆ
la definición del valor medio A = Ψ∗ (x)AΨ(x)dx.

2Solución
Tal como nos indica el problema, evaluamos
(B − B )2 =

Ψ∗ (x)(Bˆ − B )2 Ψ(x)dx =

=

Ψ∗ (x) Bˆ 2 + B 2 − 2Bˆ B Ψ(x)dx =

=

Ψ∗ (x)Bˆ 2 Ψ(x)dx +

Ψ∗ (x)Bˆ B Ψ(x)dx =

ˆ
Ψ∗ (x)BΨ(x)dx
=

= B2 + B 2 − 2 B
= B2 + B 2 − 2 B

Ψ∗ (x) B 2 Ψ(x)dx − 2

2

= B2 − B

2

con lo que queda demostrado que
σB2 = (B − B )2 = B2 − B

2

Problema 5
Evalue el conmutador [x,ˆ pˆx ] aplicando los operadores a una función arbitraria f (x). ¿Qué
valor tiene el conmutador [ pˆx , x]?
ˆ
Solución
Aplicamos el conmutador [x,
ˆ pˆx ] a una función f (x) y obtenemos
d
d
) − (−i¯h )x f (x) =
dx
dx
d f (x)
d
= −i¯hx
+ i¯h (x f (x)) =
dx
dx
d f (x)
d f (x)
+ i¯h f (x) + i¯hx
= i¯h f (x)
= −i¯hx
dx
dx

[x,
ˆ pˆx ] f (x) = x(−i¯h

luego
[x,
ˆ pˆx ]= i¯h
Por otra parte podemos desarrollar el conmutador [ pˆx , x]
ˆ
[ pˆx , x]
ˆ = pˆx xˆ − xˆ pˆx = − (xˆ pˆx − pˆx x)
ˆ = − [x,
ˆ pˆx ]
luego
[ pˆx , x]
ˆ = −i¯h

Problema 6
ˆ C]
ˆ si los operadores A,
ˆ Bˆ y Cˆ son lineales.
ˆ = [A,
ˆ B]
ˆ BˆC]
ˆ A,
ˆ Cˆ + B[
Demuestre que [A,
Solución
Para demostrar la igualdad
ˆ BˆC]
ˆ = [A,
ˆ B]
ˆ C]
ˆ
ˆ Cˆ + B[
ˆ A,
[A,...