fisica

´
Agueda
Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´
atica Aplicada, FI-UPM

1

1

Matrices y Sistemas lineales de ecuaciones

Sea Mn×m = Mn×m (R) el espacio vectorial de las matrices reales con n filas y m columnas.

1.1

Operaciones elementales por filas

En una matriz, se consideran operaciones elementales por filas a las siguientes:
1. Intercambiar dos filas.
2. Multiplicar unafila por un n´
umero real no nulo.
3. Sustituir una fila por la suma de ella misma con el producto de otra por un n´
umero real.

Ejemplo








2 1 0
0 1 0
0 1 0
0 1 0
f1 ↔f3
2f2 →f2
f2 −f3 →f2
1 2 −1 −
−−−→ 1 2 −1 −−−−−→ 2 4 −2 −−−−−−→ 0 3 −2
0 1 0
2 1 0
2 1 0
2 1 0

1.2

Matrices elementales

Se llaman matrices elementales a aquellas matricescuadradas que resultan de aplicar una
operaci´on elemental a la matriz identidad.

Ejemplo




1 0 0
0
f1 ↔f2



I = 0 1 0 −−−−→ E = 1
0 0 1
0

1 0
I = 0 1
0 0

1.3






1 0
1 0 0
1 0 0
−2f3 →f3
0 0 ; I = 0 1 0 −−−−−−→ E = 0 1 0 
0 1
0 0 1
0 0 −2



0
1 0 0
f3 −2f2 →f3
0 −−−−−−−→ E = 0 1 0
1
0 −2 1

Relaci´
on entre operaciones ymatrices elementales

El resultado de hacer una operaci´on elemental a una matriz A ∈ Mn×m coincide con el resultado
de multiplicar la matriz elemental E ∈ Mn×n , asociada a dicha operaci´on elemental, por A.

Ejemplo



1
1 2 −1 1
f2 −2f1 →f2
0  −−−−−−−→ 0
A = 2 −1 1
1
1 0
3 −2



1
1 2 −1 1
f1 ↔f3
0  −−−−→ 0
A = 2 −1 1
1
1 0
3 −2

 
1
2 −1 1
−5 3 −2= −2
0
0
3 −2
 
0 0
0
3 −2
−5 3 −2 = 0 1
1 0
2 −1 1


0 0
1 0 · A
0 1

1
0 · A
0

´
Agueda
Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´
atica Aplicada, FI-UPM

2




 

1 2 −1 1
1
2 −1 1
1 0 0
−f3 →f3
0  −−−−−→  2 −1 1 0 = 0 1 0  · A
A = 2 −1 1
1 0
3 −2
−1 0 −3 2
0 0 −1

1.4

Formas escalonada y can´
onica de una matriz. Rango

Sellama matriz escalonada o reducida de A ∈ Mn×m a cualquier matriz Ar ∈ Mn×m que
se obtiene a partir de A mediante operaciones elementales, y en la que el primer elemento no
nulo de cada fila se encuentra a la derecha del primer elemento no nulo de la fila anterior. Las
filas nulas, si las hay, en una matriz escalonada deben estar al final.
Se llama rango de A al n´
umero de filas no nulas deuna matriz escalonada de A.
Se llama matriz can´
onica por filas de A ∈ Mn×m a la matriz Ac ∈ Mn×m , que se obtiene
a partir de A mediante operaciones elementales, en la que el primer elemento no nulo de cada
fila es un uno, se encuentra a la derecha del primer elemento no nulo de la fila anterior, y por
encima de ´el todos los elementos son nulos.
Observa que si B se obtiene a partir de A ∈Mn×m despu´es de p operaciones elementales,
entonces
B = Ep · Ep−1 · . . . · E2 · E1 · A
donde Ei es la matriz elemental asociada a la operaci´on i-´esima. Adem´as, si I ∈ Mn×n es la
matriz identidad de orden n, se tiene que
operaciones elementales

(A | I) −−−−−−−−−−−−−−→ (B | E)

con

B =E·A

donde E = Ep · Ep−1 · . . . · E2 · E1 se llama matriz de paso de A a B.

Ejemplo
Si sequiere hallar una matriz escalonada, y la matriz de paso asociada, de la matriz


1 1 0 1 1
2 −1 3 1 3

A=
1 −1 2 1 1
1 1 0 0 2
se hacen las operaciones elementales necesarias ados´andole la matriz identidad:
 f −2f →f

2
1
2
1 0 0 0
1 1 0 1 1
f3 −f1 →f3
 2 −1 3 1 3
0 1 0 0 
f4 −f1 →f4
 −−
−−−−−→
(A | I) = 

 1 −1 2 1 1
0 0 1 0
0 0 0 1
1 1 0 0 2


1
1 1 0 1 1
1 0 0 0
1 1 0 1 1


 0 −3 3 −1 1
−1
−2 1 0 0  f2 ↔f3  0 −2 2 0 0

−−−−→ 
 0 −2 2 0 0
−2
0 −3 3 −1 1
−1 0 1 0 
−1
0 0 0 −1 1
−1 0 0 1
0 0 0 −1 1


1
0
0
0
1 1 0
1
1
−1
1
f →f2
f3 →f3
2 2
 2f24 +f3 →f4
1/2
0
−1/2
0
0
0
3f2 −2f3 →f3  0 1 −1


−−−−−−−−→ 
−−−−−−−→
1 −2
3
0 
0 0 0
2 −2
−1 0
0
1
0 0 0 −1 1

0
0
1
0...