fisica

5

2.

C´
alculo de primitivas

Definici´
on 2.1 Se dice que una funci´
on F (x) es una primitiva de otra funci´
on f (x) sobre un
intervalo (a, b) si para todo x de (a, b) se tiene que F (x) = f (x).
Por ejemplo, la funci´
on F (x) = x2 es una primitiva de f (x) = 2x en todo R pues (x2 ) = 2x.
El siguiente teorema es una consecuencia trivial del teorema del valor medio de Lagrange.Teorema 2.1 Sean F1 (x) y F2 (x) dos primitivas de la funci´
on f (x) en (a, b). Entonces, para
todo x de (a, b), F1 (x) − F2 (x) = const. Es decir dada una funci´
on f (x) sus primitivas difieren
en una constante (en adelante denotaremos por C a una constante cualquiera).
Definici´
on 2.2 El conjunto de todas las primitivas de una funci´
on f (x) definida en (a, b) se
denomina integralindefinida de f (x) y se denota por

f (x) dx. De manera que, si F (x) es una

primitiva de f (x),
f (x) dx = F (x) + C
Mediante una simple derivaci´
on es sencillo comprobar el siguiente
Teorema 2.2 (Propiedades de la integral indefinida.)
1.

d
dx

f (x) dx = f (x)

2.

dF (x) = F (x) + C

3.

[f (x) ± g(x)] dx =

4.

[A · f (x)] dx = A

f (x) dx ±

g(x) dx

f (x)dx

Teorema 2.3 Tabla de Integrales
1.

0 dx = C

2.

1 dx = x + C

3.

xα dx =

4.

1
dx = log |x| + C
x

5.

ax dx =

6.

sen x dx = − cos x + C

7.

cos x dx = sen x + C

8.

1
dx = tan x + C
cos2 x

xα+1
+ C,
α+1

ax
+ C,
log a

∀α ∈ R,

α = −1

a > 0, a = 1

(2.3)

6

2

9.

1
dx = − cotan x + C
sen2 x
1
dx =
1 − x2

arcsen x + C
− arc cos x + C

10.

√

11.

1
dx =
1 + x2

12.

√

13.

x+1
1
1
+C
dx = log
1 − x2
2
x−1

14.

sinh x dx = cosh x + C

15.

cosh x dx = sinh x + C

16.

1
dx = tanh x + C
cosh2 x

17.

1
dx = coth x + C
sinh2 x

2.1.
2.1.1.

´
CALCULO
DE PRIMITIVAS

1
x2

±1

arctan x + C
− arcctg x + C
x2 ± 1 + C

dx = log x +

M´
etodosde integraci´
on.
Integraci´
on por cambio de variable.

Teorema 2.4 Sea t = φ(x) una funci´
on derivable en x y sean X = (a, b) el dominio y T =
φ[(a, b)] la imagen de φ(x). Supongamos que sobre el conjunto T existe la primitiva de la funci´
on
g(t), o sea,
g(t)dt = G(t) + C.
Entonces sobre todo el conjunto (a, b) la funci´
on g[φ(x)]φ (x) tiene una primitiva y adem´
as
g[φ(x)]φ(x) dx = G[φ(x)] + C.
Demostraci´
on: Basta notar que (G[φ(x)]) = G [φ(x)]φ (x) = g[φ(x)]φ (x).
Ejemplo 2.1
a) Calcular

cos(2x) dx. Como la integral no es de la tabla es necesario convertirla en una de

la tabla. Para ello hacemos:
cos(2x) dx =

b) Calcular

y = 2x
dy = 2 dx

=

cos(y)

1
1
dy
= sen y + C = sen(2x) + C
2
2
2

ecos x sen x dx. Como la integral no es de latabla es necesario convertirla en una

de la tabla:
ecos x sen x dx =

t = cos x
dt = − sen dx

=−

ey dy = −ey + C = −ecos x + C

7

2.1 M´etodos de integraci´
on.
2.1.2.

Integraci´
on por partes.

Supongamos que las funciones u(x) y v(x) son derivables en un intervalo (a, b) y existe la
primitiva de la funci´
on v(x)u (x) en (a, b). Entonces, sobre (a, b) existe laprimitiva de u(x)v (x)
y se cumple que
u(x)v (x) dx = u(x)v(x) −

v(x)u (x) dx,

(2.4)

v(x)du(x).

(2.5)

o en forma diferencial
u(x)dv(x) = u(x)v(x) −

Demostraci´
on: Para probarlo es suficiente notar que [u(x)v(x)] = u (x)v(x) + u(x)v (x) y la
propiedad 1 del teorema 2.2.
Ejemplo 2.2
a) Calcular

xn log x dx. Como la integral no es de la tabla es necesario convertirla en unade

la tabla. Utilicemos la integraci´
on por partes:
u(x) = log x,
du(x) = x1 dx
n+1
dv(x) = xn dx, v(x) = xn+1

xn log x dx =

=

xn+1
n+1

log x −

b) Calcular I =

1
n+1

=

xn+1
log x −
n+1

xn
dx =
n+1

+C

eax cos bx dx. Como la integral no es de la tabla es necesario convertirla en

una de la tabla. Utilicemos la integraci´
on por partes:
I=

eax...