Fisica

Definición de Máximos y Mínimos de una función

• Presentaremos las definiciones formales de máximos y mínimos de una función, definida en cierto intervalo I (llamado dominio de la función).

• Consideremos una función f cuyos valores[pic]son números reales y el argumento x pertenece al intervalo I (dominio de f ).

• Emplearemos la notación argumento x e incremento h, donde[pic] es un incremento “signado”.





Definición 1: Máximo relativo (o local) de una función f definida en un intervalo I.
f tiene un máximo relativo en [pic] si (y sólo si) existe [pic] tal que, cada vez que [pic] y [pic] se cumple [pic].




Caso trivial: [pic]
En la definición anterior, vemos que independientemente del valor [pic], [pic] además [pic] (pues [pic]) ytrivialmente [pic] [y también [pic]]. En resumen, todas las condiciones en la definición de máximo relativo, se cumplen trivialmente en [pic]. Podemos, por lo tanto, excluir este valor sin que pase nada en dicha definición y reescribirla como sigue:

Definición 1*: f tiene un máximo relativo en [pic] si (y sólo si) existe [pic] tal que, cada vez que [pic] y [pic]
se cumple [pic].Definición 1a: Máximo relativo (o local) estricto de una función f definida en un intervalo I.
f tiene un máximo relativo estricto en [pic] si (y sólo si) existe [pic] tal que, cada vez que [pic] y [pic] se cumple [pic].




Ejemplo 1:
[pic], [pic] (i.e. el dominio de f son todos los reales).
Afirmamos que f alcanza un máximo relativo en 0. En efecto, existe [pic] del tamaño que se desee,tal que [pic] y [pic] garantizan que [pic].


Más aún, el máximo relativo es estricto ya que [pic] implica [pic]. Además [pic] para cualquier [pic] sin importar el criterio de cercanía[pic], por lo tanto f tiene un máximo absoluto estricto en 0.


Definición 2: Máximo absoluto de una función f definida en un intervalo I.
f tiene un máximo absoluto en [pic], cada vez que [pic] se cumple[pic].

Definición 2a: Máximo absoluto estricto de una función f definida en un intervalo I.
f tiene un máximo absoluto estricto en [pic], cada vez que [pic] y [pic] se cumple [pic].


Observaciones

• Si la función f tiene un máximo relativo estricto en el argumento x, entonces también alcanza un máximo relativo en dicho argumento x.


• Si la función f tiene un máximoabsoluto estricto en el argumento x, también alcanzará un máximo absoluto en dicho argumento x.


• Si la función f tiene un máximo absoluto en el argumento x, también alcanzará un máximo relativo en dicho argumento x.


Definición 3: Mínimo relativo (o local) de una función f definida en un intervalo I.
f tiene un mínimo relativo en [pic] si (y sólo si) existe [pic] tal que, cadavez que [pic] y [pic] se cumple [pic].


Definición 3*: f tiene un mínimo relativo en [pic] si (y sólo si) existe [pic] tal que, cada vez que [pic] y [pic] se cumple [pic]


Definición 3a: Mínimo relativo (o local) estricto de una función f definida en un intervalo I.
f tiene un mínimo relativo estricto en [pic] si (y sólo si) existe [pic] tal que, cada vez que [pic] y [pic] secumple [pic].

Definición 4: Mínimo absoluto de una función f definida en un intervalo I.
f tiene un mínimo absoluto en [pic], cada vez que [pic] se cumple [pic].


Definición 4a: Mínimo absoluto estricto de una función f definida en un intervalo I.
f tiene un mínimo absoluto estricto en [pic], cada vez que [pic]y [pic] se cumple [pic].



Ejemplo 2:

[pic], [pic] (i.e. el dominiode f son todos los reales).
Afirmamos que f alcanza un mínimo relativo en 0 [suele decirse en[pic]].

En efecto, existe [pic] del tamaño que se desee, tal que [pic] y [pic] garantizan que [pic].

Más aún, el mínimo relativo es estricto ya que [pic] implica [pic]. Además [pic] para cualquier [pic] sin importar el criterio de cercanía[pic], por lo tanto f tiene un mínimo absoluto...