fisioterapia

Desigualdades
Desigualdad es la expresión algebraica que sus dos miembros aparecen ligados por uno de estos signos:
<
menor que
≤
menor o igual que
>
mayor que
≥
mayor o igual que
La solución de una desigualdad es el conjunto de valores de la variable que cumplen las condiciones establecidas por medio de los signos indicados.
Podemos expresar la solución de una desigualdad mediante:1. Una representación gráfica.
2. Un intervalo.
3x − 2 < 7 → 3x < 9 → x < 3

(-∞, 4)
2x − 1 ≤ 7
2x ≤ 8     x ≤ 4

(-∞, 4]
2x − 1 > 7
2x > 8     x > 4

(4, ∞)
2x − 1 ≥ 7
2x ≥ 8     x ≥ 4

[4, ∞)
Criterios de equivalencia de desigualdades

Si a los dos miembros de una desigualdad se les suma o se les resta un mismo número, la inecuación resultante es equivalente ala dada.
3x + 4 < 5         3x + 4 − 4 < 5 − 4       3x < 1
Si a los dos miembros de una desigualdad se les multiplica o divide por un mismo número positivo, la inecuación resultante es equivalente a la dada.
2x < 6                2x : 2 < 6 : 2       x < 3
Si a los dos miembros de una desigualdad se les multiplica o divide por un mismo número negativo, la inecuación resultante cambia desentido y es equivalente a la dada.
−x < 5          (−x) · (−1) > 5 · (−1)      x > −5
Desigualdades de primer grado con dos incógnitas
Su solución es uno de los semiplanos que resulta de representar la ecuación resultante, que se obtiene al transformar la desigualdad en una igualdad.
2x + y ≤ 3
1º Transformamos la desigualdad en igualdad.
2x + y = 3

2º Damos a una de las dos variables dosvalores, con lo que obtenemos dos puntos.
x = 0;     2 · 0 + y = 3;   y = 3;          (0, 3)
x = 1;     2 · 1 + y = 3;   y = 1;          (1, 1)
3º Al representar y unir estos puntos obtenemos una recta.

4º Tomamos un punto, por ejemplo el (0, 0), los sustituimos en la desigualdad. Si se cumple, la solución es el semiplano donde se encuentra el punto, si no la solución será el otro semiplano.2x + y ≤ 3
2 · 0 + 0 ≤ 3       0 ≤ 3      Sí

2x + y > 3
2 · 0 + 0 > 3       0 > 3      No
En este caso (mayor que, pero no igual) los puntos de la recta no pertenecen a la solución.

Desigualdades de segundo grado
Consideremos la inecuación:
x2 − 6x + 8 > 0
La resolveremos aplicando los siguientes pasos:
1ºIgualamos el polinomio del primer miembro a cero y obtenemos las raícesde la ecuación de segundo grado.
x2 − 6x + 8 = 0


2º Representamos estos valores en la recta real. Tomamos un punto de cada intervalo y evaluamos el signo en cada intervalo:

P(0) = 02 − 6 · 0 + 8 > 0
P(3) = 32 − 6 · 3 + 8 = 17 − 18 < 0
P(5) = 52 − 6 · 5 + 8 = 33 − 30 > 0
3º La solución está compuesta por los intervalos (o el intervalo) que tengan el mismo signo que el polinomio.

S= (-∞, 2) (4, ∞)

x2 + 2x +1 ≥ 0
x2 + 2x +1 = 0

(x + 1)2 ≥ 0
Como un número elevado al cuadrado es siempre positivo la solución es
 
 
Solución
x2 + 2x +1 ≥ 0
(x + 1)2 ≥ 0

x2 + 2x +1 > 0
(x + 1)2 > 0

x2 + 2x +1 ≤ 0
(x + 1)2 ≤ 0
x = − 1
x2 + 2x +1 < 0
(x + 1)2 < 0

x2 + x +1 > 0
x2 + x +1 = 0


Cuando no tiene raíces reales, le damos al polinomio cualquier valorsi:
El signo obtenido coincide con el de la desigualdad, la solución es .
El signo obtenido no coincide con el de la desigualdad, no tiene solución.
 
Solución
x2 + x +1 ≥ 0

x2 + x +1 > 0

x2 + x +1 ≤ 0

x2 + x +1 < 0

 
Desigualdades racionales

Las inecuaciones racionales se resuelven de un modo similar a las de segundo grado, pero hay que tener presente que el denominador nopuede ser cero.

1º Hallamos las raíces del numerador y del denominador.
x − 2 = 0      x = 2
x − 4 = 0      x = 4
2º Representamos estos valores en la recta real, teniendo en cuenta que las raíces del denominador, independientemente del signo de la desigualdad, tienen que ser abiertas.
3ºTomamos un punto de cada intervalo y evaluamos el signo en cada intervalo:






4º La solución...