Flujo en una lamina infinita

NOMBRE: DEL MAESTRO MANCHEGO JHONATHAN
CODIGO: 062033K

RESOLUCION DEL PROBLEMA N° 5 DEL EXAMEN PARCIAL- 2003-B

En la figura, las coordenadas de la frontera que se muestran son φ=0 en x=0, y=0y y=b; y φ=φ0=100v. Hallar φ en un punto x=a/4 y y=b/2 . Se sabe que a=b.
Y
φ=φ0
φ=0

φ=0

X
φ=0


Como el potencial es cero para ambos valores en las fronteras de la variable “Y”entonces la solución particular a la ecuación de Laplace que se utiliza es aquella cuyas funciones seno y coseno dependen de “Y” es decir:
φ(x,y)=Acoshkx+BsinhkxCcosky+Dsinky…(1)
Para hallar el valor delas constantes aplicamos condiciones de fronteras:
1. C.F.: Si y=0 φx,0=0 Reemplazando en (1) ; tenemos:

φx,0=Acoshkx+BsinhkxCcos0+Dsin0=0
Este factor es igual a ceroC1+D0=0
C=0


2. C.F.: Si x=0 φ0,y=0 Reemplazando en (1) ; tenemos:

φ0,y=Acosh0+Bsinh0Ccosky+Dsinky=0
Este factor es igual a cero


A1+B0=0
A=0Reemplazando las constantes A y C en (1) tenemos:
φ(x,y)=BsinhkxDsinky
Hacemos B(D)= F , asi nos queda:
φ(x,y)=Fsinhkxsinky…(2)
3. C.F.: Si y=b φx,b=0 Reemplazando en (2); tenemos:

φ(x,y)=Fsinhkxsinkb=0
Este factor es igual a cero

Entonces: sinkb=sinnπ=0 kb=nπ k=nπb n≥1
Reemplazando esto en (2) tenemos:
φ(x,y)=FsinhnπxbsinnπybGeneralizando la ecuación (2) tenemos:
φ(x,y)=1Fnsinhnπxbsinnπyb…(3)
4. C.F.: Si x=a φx,b=φ0=100v Reemplazando en (3) ; tenemos:
φ(a,y)=φ0=100v =1Fnsinhnπabsinnπyb…(4)Reemplazamos Hm=Fnsinhnπab .Debido a que Fnsinhnπab es una función solo de “m” se puede simplificar la ecuación (4) en:
φ0=1Hmsinnπyb n≥1
Debido a que es una serie senoidal de Furier, por métodosestándar de las series de Furier se puede determinar los coeficientes Hm , si se interpreta φ0 como una función periódica de “y”. Como el problema está limitado por planos conductores en y=0 y y=b, y...