Flujo reptante

Fenómenos de Transporte.Licenciatura en Ciencia y Tecnología de Alimentos Licenciatura en Ciencia y Tecnología Ambiental Licenciatura en Biotecnología y Biología Molecular

SOLUCIONES APROXIMADAS -Los casos en los cuales es posible resolver analíticamente los balances microscópicos de materia y cantidad de movimiento son sistemas que operan en estado estacionario y poseen una única componentede velocidad. -Si el flujo no es estacionario o si existe mas de una componente de velocidad entonces al plantear los balances aparecerán mas de una componente del balance microscópico de cantidad de movimiento y las ecuaciones diferenciales serán a derivadas parciales. Vy V y Vx x -Así, en el flujo alrededor del ala de un avión aparecen dos componentes de velocidad. Este flujo se denominabidimensional. -Si se supone que el fluido es newtoniano, de ρ y μ constantes y que el sistema opera en estado estacionario, las ecuaciones que gobiernan al sistema serán: Ecuación de Continuidad:

∂v x ∂v y + =0 ∂x ∂y

Ecuación de Navier-Stokes. Componente “x”:
⎡ ∂ 2v x ∂ 2v x ⎤ ⎛ ∂v x ∂v x ⎞ ∂p ⎟=− + μ⎢ 2 + ρ⎜ vx + vy ⎥ + ρg x ⎜ ∂x ∂x ∂y ⎟ ∂x ∂y 2 ⎥ ⎢ ⎠ ⎝ ⎣ ⎦

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Componente “y”: ⎡ ∂ 2v y ∂ 2v y ⎤ ∂v y ⎞ ⎛ ∂v y ∂p ⎟ = − + μ⎢ ρ⎜ vx + vy + ⎥ + ρg y ⎜ 2 2 ∂x ∂y ⎟ ∂y ∂y ⎥ ⎢ ∂x ⎝ ⎠ ⎦ ⎣ -Como puede verse para poder analizar este sistema será necesario resolver un sistema de tres ecuaciones diferenciales simultáneas aderivadas parciales. Tenemos dos variables independientes: “x” e “y” y tres variables dependientes: “vx”, “vy” y “p”. -Estas ecuaciones sólo pueden resolverse numéricamente. -Con el propósito de obtener soluciones analíticas que resultan mas útiles se han elaborado modelos con mayores simplificaciones. Así surgieron las aproximaciones de flujo inviscido, flujo reptante y capa límite. FLUJO INVISCIDO-En esta simplificación se supone que las fuerzas viscosas existentes en el sistema son despreciables frente a las fuerzas inerciales. -Este es un buen modelo en zonas alejadas de superficies sólidas y para altas velocidades de flujo. -Analizando la ecuación de Navier-Stokes:

Dv = −∇ p + μ ∇ 2 v + ρ g Dt Si desarrollamos la derivada sustancial de v: Dv ⎞ ⎛ ∂v ρ = ρ ⎜ + v • ∇ v ⎟ = −∇ p + μ ∇ 2v + ρ g Dt ⎠ ⎝ ∂t ∂v 1 μ = − ∇ p − v • ∇v + ∇ 2 v + g ∂t ρ ρ

ρ

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-La suposición de flujo inviscido implica que v • ∇ v 〉〉

μ 2 ∇ v por lo tanto ρ

la ecuación de Navier-Stokes se simplifica de la siguientemanera: Dv ρ = −∇ p + ρg Dt -Esta ecuación se conoce como ecuación de Euler y permite resolver una serie de sistemas con flujo bidimensional. DISTRIBUCIÓN DE PRESION ALREDEDOR DE UN CILINDRO SUMERGIDO CON FLUJO INVISCIDO Objetivo: determinar la distribución de presión ejercida por un fluido que circula alrededor de un cilindro. Suposiciones: 1)Flujo estacionario e inviscido 2)Fluido newtoniano de μ yρ constantes

v ∞, p ∞ 1

P2

P3

θ
2 3

-Adoptando como volumen de control al fluido que circula alrededor del cilindro -Suponiendo flujo inviscido puede aplicarse la ecuación de Euler:

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1 ∂v = − ∇ p − v• ∇v + g ρ ∂t Y utilizando la siguiente igualdad (que no será demostrada): ⎛ v2 ⎞ v • ∇ v = ∇⎜ ⎟ − v × (∇ × v ) ⎜ 2 ⎟ ⎝ ⎠ Reemplazando:
⎛ v2 ⎞ ∂v 1 = − ∇ p − ∇ ⎜ ⎟ + v × (∇ × v ) + g ⎜ 2 ⎟ ρ ∂t ⎝ ⎠

Definiendo una energía potencial por unidad de masa como:
ˆ φ = − (g x x + g y y + g z z )

-El gradiente de φ será: ˆ ∇φ = − g x i + g y j + g z k = − g

(

)

-Reemplazando:
⎛ v2 ⎞ ˆ...