Formas conicas

Elipse
La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma de las distancias a dos puntos fijos llamados focos es una constante positiva.
Una elipse es la curva cerrada que resulta al cortar la superficie de un cono por un plano oblicuo al eje de simetría –con ángulo mayor que el de la generatriz respecto del eje de revolución.1 Una elipse que gira alrededor de su ejemenor genera un esferoide achatado, mientras que una elipse que gira alrededor de su eje principal genera un esferoide alargado.
Elementos de una elipse ( ver anexo 3)
La elipse posee un «eje mayor», trazo AB (que equivale a ), y un «eje menor», trazo CD (que equivale a ); la mitad de cada uno de esos ejes recibe el nombre de «semieje», de tal manera que se los denomina «semieje mayor» y «semiejemenor», respectivamente.
Sobre el «eje mayor» existen dos puntos  y  que se llaman «focos».
El punto  es uno que pertenezca a la «elipse».
Puntos de una elipse
Si F1 y F2 son dos puntos del plano y d es una constante mayor que la distancia F1 F2, un punto Q pertenecerá a la elipse, si:

donde  es el semieje mayor de la elipse.
Ejes de una elipse
Eje mayor (2 a) es la distancia mayor entredos puntos adversos. En la figura, longitud del segmento AB.
La medida a es la mitad del eje mayor, o sea es el semieje mayor. La distancia del centro de la elipse al punto A o al punto B.
El resultado constante de la suma de las distancias de cualquier punto a los focos equivale al eje mayor.
Obsérvese que d(AF2) + d (AF1) = d(AF2) + d (BF2)= AB
La medida b es la mitad del eje menor, o sea esel semieje menor, la distancia del centro al punto C o al punto D.
Excentricidad de una elipse
La excentricidad de una elipse es la razón entre su semidistancia focal (segmento que va del centro de la elipse a uno de sus focos), denominada por la letra 'c', y su semieje mayor. Su valor se encuentra entre cero y uno.
 , con (0 < e < 1)

Dado que  , también vale la relación:

o elsistema:

Elipse horizontal con centro en (0,0)
Para obtener la ecuación general de la elipse:
F'P + PF = 2a
Aplicando la fórmula de la distancia

Para eliminar los radicales, trasladamos uno de ellos al segundo miembro de la igualdad

Elevamos al cuadrado ambos miembros de la igualdad

Desarrollamos
x2 + 2xc + c2 + y2 = 4a2 - 4a  + x2 - 2xc + c2 + y2
Simplificamos
4a  = 4a2 - 4xcDividimos entre 4 ambos miembros de la igualdad e introducimos a al radical
 = a2 – xc
Dividimos entre 4 ambos miembros de la igualdad e introducimos a al radical
 = a2 - xc
Volvemos a elevar al cuadrado para eliminar el radical
a2(x2 - 2xc + c2 + y2) = a4 - 2a2xc + x2c2
Reduciendo términos semejantes
a2x2 - x2c2 + a2y2 = a4 - a2c2
Factorizando
x2(a2 - c2) + a2y2 = a2(a2 - c2)
Dividiendo laigualdad entre el producto a2(a2 - c2)

Como a2 > c2 entonces a2 - c2 es positivo, podemos hacer a2 - c2 = b, por consiguiente, la ecuación de la elipse horizontal con centro en el origen es: (ver anexo 1)
Elipse vertical con centro en (0,0)
Para obtener la ecuación general de la elipse:
F'P + PF = 2a
Aplicando la fórmula de la distancia

Para eliminar los radicales, trasladamos uno deellos al segundo miembro de la igualdad

Elevamos al cuadrado ambos miembros de la igualdad

Desarrollamos
y2 + 2yc + c2 + x2 = 4a2 - 4a  + y2 - 2yc + c2 + x2
Simplificamos
4a  = 4a2 - 4yc
Dividimos entre 4 ambos miembros de la igualdad e introducimos a al radical
 = a2 - yc
Volvemos a elevar al cuadrado para eliminar el radical
a2(y2 - 2yc + c2 + x2) = a4 - 2a2yc + y2c2
Reduciendotérminos semejantes
a2y2 - y2c2 + a2x2 = a4 - a2c2
Factorizando
y2(a2 - c2) + a2x2 = a2(a2 - c2)
Dividiendo la igualdad entre el producto a2(a2 - c2)

Como a2 > c2 entonces a2 - c2 es positivo, podemos hacer a2 - c2 = b, por consiguiente, la ecuación de la elipse vertical con centro en el origen es:

La excentricidad es menor a la unidad y queda definida por la relación de la mitad de la...