Formas proposicionales

CAPÍTULO 2

Formas proposicionales

2.1. Constantes, variables, proposiciones y principio de bivalencia

Una de las propiedades de la forma de expresión matemática, es la de representar los objetos, las imágenes mentales, los vínculos y las relaciones mediante símbolos (signos), y combinarlos entre sí.

Una constante es un signo que tiene una determinada significación fija. Esdecir; una constante tiene, en todo el desarrollo de una investigación o en la solución de una tarea, siempre la misma significación.

Una variable es un signo que representa cualquier elemento de un dominio básico previamente establecido. Esto quiere decir que una variable se puede sustituir por el signo de cualquier elemento del dominio básico. Entonces se habla de la sustitución de la variable, ode la interpretación de la variable.

Por término entendemos las constantes, las variables y sus combinaciones mediante los signos de operación y los signos técnicos. Los términos son, por tanto, las denominaciones de los objetos matemáticos o las combinaciones de signos donde se presentan variables, constantes y signos de operaciones, y que mediante la interpretación de las variables se omitenen las designaciones de los objetos matemáticos. El objeto matemático, identificado como un término, y en cuya denominación se omite este calificativo después de la interpretación de las variables, se conoce como valor del término.

Las proposiciones son estructuras lingüísticas cuyo valor de verdad es, o verdadero o falso. La lógica clásica, a través de sus axiomas y principios, ha hechoalgunas consideraciones sobre el contenido de verdad de una proposición. El principio de la bivalencia expresa:

Toda proposición o es falsa o es verdadera.

De este principio se pueden deducir dos teoremas.

1.- El teorema de la tercera posibilidad excluida, expresa:

Toda proposición es falsa o verdadera.

2.- El teorema de la contradicción excluida, expresa:

Ninguna proposición esfalsa y verdadera al mismo tiempo.

En las observaciones posteriores veremos que los dos teoremas, considerados en conjunto, expresan exactamente lo mismo que el principio de la bivalencia. Por consiguiente, se puede proceder a la inversa; es decir deducir el teorema de la bivalencia a partir del principio de la tercera posibilidad excluida y del principio de la contradicción excluida.

A cadaproposición se le hace corresponder un valor de verdad, o falso F o verdadero V. Es por esta razón que también se habla de una lógica bivalente. La asignación de los valores de verdad F o V de una proposición, no es tan sencillo de determinar. Aunque en el principio de la bivalencia se expresa claramente que una proposición es falsa o verdadera, no se puede decir inmediatamente si cada proposiciónes falsa o verdadera. En matemáticas existen actualmente muchas proposiciones que hasta el momento no han podido ser demostradas, concebida, la demostración, como una aseveración de la verdad.

2.2 Valor de verdad y formas proposicionales

DEFINICIÓN 2.1.- Una estructura lingüística que contiene por lo menos una variable libre, se convierte en una proposición, cuando se sustituyen todas lasvariables por símbolos, que denotan objetos del dominio básico, recibe el nombre de forma proposicional.

A las expresiones matemáticas de este tipo se las denomina formas proposicionales. Las variables en tales expresiones se denominan variables libres. Las formas proposicionales surgen cuando entre los términos que contienen variables se coloca un determinado signo de relación. De forma análogaal convenio establecido para la notación de términos, denotamos una forma proposicional con P(x1, x2, ..., xn). Todos los elementos cuyos símbolos convierten una forma proposicional en una proposición, constituyen el conjunto solución de esta forma proposicional.

El conjunto solución comprende solamente aquellos elementos del dominio básico cuyos símbolos convierten una forma proposicional...