formulario de integrales
c 2001-2005 Salvador Blasco Llopis
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Creative Commons Atribuci´n 2.1 Espa˜a.
o
n
S´ptima revisi´n: Febrero
e
o
Sexta revisi´n: Julio
o
Quinta revisi´n: Mayo
o
Cuarta revisi´n: Mayo
o
Tercera revisi´n: Marzo
o
1.
1.1.
1.1.1.
Integrales indefinidas
Funciones racionales eirracionales
Contienen ax + b
1
(ax + b)n+1 + C,
a(n + 1)
(1)
(ax + b)n dx =
(2)
dx
1
= ln |ax + b| + C
ax + b
a
(3)
dx
1
x
+C
= ln
x(ax + b)
a
ax + b
(4)
1
1
dx
=− ·
+C
2
(1 + x)
1+ x
(5)
1
2
1
1
xdx
=− ·
−
·
+C
(1 + bx)3
2b (1 + bx)2
2b 1 + bx
1.1.2.
Contienen
(6)
(7)
√
ax + b
√
2(3bx − 2a)(a + bx)3/2
+C
x a +bxdx =
15b2
√
x
2(bx − 2a) a + bx
√
dx =
+C
3b2
a + bx
1
n=1
2005
2003
2002
2001
2001
(8)
(9)
dx
=
x a + bx
√
√
1
√ ln
a
√
√
√a+bx−√a + C,
a+bx+ a
√2 arctan a+bx + C,
−a
−a
√
a + bx
dx = 2 a + bx + a
x
1.1.3.
dx
1
x
= arctan + C,
a2 + x2
a
a
a0
(11)
1.1.4.
(x2
a>0
xdx
1
=√
+C
2 )3/2
2 ± a2
±a
xContienen a2 − x2 ,
x
2
x0
dx
x
=√
+C
2 )3/2
2 a2 − x2
−x
a
Contienen
(15)
a 2 − x2 +
1
x a2 ± x2 + a2 ln x + a2 ± x2 + C =
2
√
1
a2
2
2
(+)
2 x√a + x + 2 arcsenhx + C
2
1
x a2 − x2 + a arccoshx + C (−)
2
2
12
(x ± a2 )3/2 + C
3
1
2
x2 + a2 dx = ( x2 − a2 )(a2 + x2 )3/2 + C
5
5
x2 − a 2
dx =
x
x2 − a2 − a · arc cos
(19)
√
dx
x
= a ·arcsenh + C
a
x2 + a 2
(20)
√
x2
(21)
1
a
dx
= arc cos
+ C,
2 − a2
a
|x|
xx
dx
= ln x +
− a2
a
+C
|x|
x2 − a2 + C = arccosh
√
2
(a > 0)
x
+ C,
a
(a > 0)
(22)
(23)
(24)
xdx
= x2 ± a 2 + C
x2 ± a 2
√
(a2 + x2 )3/2
x2 ± a 2
dx =
+C
4
x
3a2 x3
x2
x
dx =
2 − a2
2
x
(25)
√
1.1.6.
Contienen
x2 − a 2 −
a2
xarccosh + C
2
a
a2 ± x2
1
x
2
a2 − x2 −
a2
x
arc sen + C,
2
a
(a > 0)
1
a2 ± x2 dx = ± (a2 ± x2 )3/2 + C
3
(27)
x
(28)
x2
(30)
√
a2 − x2 dx =
(26)
(29)
√
x2 ± a 2
+C
a2 x
dx
√
=
2 x2 ± a 2
x
x
a2
x
(2x2 − a2 ) a2 − x2 +
arc sen + C,
8
8
a
√
√
a2 ± x2
a + a2 ± x2
dx = a2 ± x2 − a ln
+C
x
x
√
− a2 − x2
dx
√
=+C
a2 x
x2 a 2 − x 2
a2 − x2 dx =
dx
x
= arc sen + C, a > 0
2
a
−x
√
dx
1
a + a2 − x2
√
+C
= − ln
a
x
x a2 − x2
√
a2
(33)
√
x
dx = ±
a2 ± x2
(34)
√
a2
(35)
√
a2
1.1.7.
Contienen ax2 + bx + c
(31)
(32)
(36)
x2
x
dx = ±
2
2
±x
a 2 ± x2 + C
dx
= ln x +
+ x2
x
a2
arc sen + C,
2
a
a 2 ± x2
a2 + x2 + C =arcsenh
a>0
x
+ C,
a
a>0
√
2ax+b− b2 −4ac
√ 21
b −4ac ln 2ax+b+√b2 −4ac =
√2
dx
= b2 −4ac arctanh √2ax+b + C, b2 > 4ac
b2 −4ac
=
ax2 + bx + c √ 2
b2 < 4ac
4ac−b2 arctan √2ax+b 2 + C,
4ac−b
2
b2 = 4ac
− 2ax+b + C,
3
a>0
(37)
(38)
(39)
1.1.8.
x
1
b
dx =
ln ax2 + bx + c −
ax2 + bx + c
2a
2a
dx
+C
ax2 + bx + c
x ·dx
bx + 2c
=2
+
n
+ bx + c)
(b − 4ac)(n − 1)(ax2 + bx + c)n−1
b(2n − 3)
dx
+2
, n = 0, 1,
2 + bx + c)n−1
(b − 4ac)(n − 1)
(ax
(ax2
b2 < 4ac
2ax + b
dx
=
+
(ax2 + bx + c)n
−(b2 − 4ac)(n − 1)(ax2 + bx + c)n−1
2a(2n − 3)
dx
+
, n = 0, 1, b2 < 4ac
−(b2 − 4ac)(n − 1)
(ax2 + bx + c)n−1
Contienen
√
ax2 + bx + c
(40)
ax2 + bx + cdx =
(41)
(42)
(43)(44)
2ax + b
4a
a 0 + a 1 x + . . . + a n xn
√
dx
ax2 + bx + c
√
ax2
ax2 + bx + c +
√
ax2
dx
+ bx + c
Ver §3.5, p´g. 11: m´todo alem´n
a
e
a
√
dx
1
= √ ln 2ax + b + a ax2 + bx + c + C =
a
+ bx + c
1
2ax+b
∆ < 0, a > 0;
√a arcsenh √4ac−b2 + C,
1
√ ln |2ax + b| + C,
∆ = 0, a > 0; , ∆ = b2 − 4ac
a1
√
arc sen √2ax+b + C, ∆ > 0, a < 0;
− −a...
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