Fourier

Tema 7.- SERIES DE FOURIER
Ampliación de Matemáticas. Ingeniería Técnica Industrial. Especialidad en Electrónica Industrial.

Índice
1. Series trigonométricas y series de Fourier. Coeficientes de Fourier 2. Series de Fourier de funciones pares y de funciones impares 3. Convergencia puntual de las series de Fourier 4. Series de cosenos y series de senos 5. Otras formas de expresión de lasseries de Fourier. Forma exponencial. 6. Espectro de líneas y síntesis de formas de onda 1 2 3 3 4 6

1.

Series trigonométricas y series de Fourier. Coeficientes de Fourier
Toda serie funcional que se pueda expresar en la forma ¶ ∞ µ a0 X 2πn 2πn an cos + x + bn sen x 2 T T n=1

donde T ∈ R+ , a0 , a1 , a2 , . . . , b1 , b2 , . . . son constantes reales, se denomina serie trigonométrica y los an, bn son los coeficientes de la misma. Dado un número real x0 , observemos que si en la serie se sustituye la variable x por cualquier número de la forma x0 + kT con k ∈ Z, la serie numérica obtenida es la misma cualquiera que sea k, puesto que: 2πn 2πn (x0 + kT ) + bn sen (x0 + kT ) = T T µ µ ¶ ¶ 2πn 2πn = an cos x0 + 2knπ + bn sen x0 + 2knπ T T 2πn 2πn = an cos x0 + bn sen x0 T T an cos Por estarazón, se puede afirmar que si la serie trigonométrica converge en el punto x0 , entonces también converge en todo punto de la forma x0 + kT, y que su suma es la misma en cualquiera de dichos puntos. En consecuencia, si la serie trigonométrica converge, su suma será una función periódica, de período T . Definición 1.1 Sea f una función integrable en [0, T ]. Se llaman coeficientes de Fourier de f alos números Z 2 T 2πn an = f (x) cos xdx n = 0, 1, 2, 3, . . . T 0 T 2 bn = T Z
T

f (x) sen

0

2πn xdx T 1

n = 1, 2, 3, . . .

Tema 7. Series de Fourier. Ampliación de Matemáticas. Esp. Electrónica Industrial.

2

La serie trigonométrica que tiene estos coeficientes se denomina serie de Fourier de f en [0, T ]. Cuando la función f es además periódica de período T , la seriecitada se denomina simplemente serie de Fourier de f . Para construir la serie de Fourier de una función sólo hay que calcular sus coeficientes, y para ello, de acuerdo con la Definición 1, basta con que f sea integrable. Pero hasta ahora no se ha expuesto ningún argumento que permita decidir nada acerca de la convergencia de esta serie, ni tampoco, si la suma es o no la función f . Es decir, una cosa esobtener la serie de Fourier de una función, y otra muy distinta determinar su convergencia y eventualmente su suma. Dejaremos para más tarde estas últimas cuestiones. Obsérvese que, en el caso de ser f una función T -periódica, los integrandos serían funciones de período T , y entonces, de acuerdo con la Proposición A.2 del Apéndice, es posible reemplazar el intervalo de integración por cualquierotro intervalo de longitud T (como por ejemplo, el intervalo [−T /2, T /2]), lo que en ciertas circunstancias puede facilitar el cálculo de los coeficientes de Fourier.

2.

Series de Fourier de funciones pares y de funciones impares

En el cálculo de la serie de Fourier correspondiente a una función f , es posible evitar trabajo innecesario al determinar los coeficientes de la serie cuandola función f considerada sea o bien una función par o bien una función impar, como veremos a continuación: Si f es una función integrable en [0, T ], y además periódica de período T , su serie de Fourier es ¶ ∞ µ 2πn 2πn a0 X an cos + x + bn sen x 2 T T n=1 y sus coeficientes se obtienen empleando las fórmulas Z 2 T 2πn f (x) cos an = xdx T 0 T Z 2 T 2πn f (x) sen bn = xdx T 0 T

n = 0, 1, 2, 3, .. . n = 1, 2, 3, . . .

que también se pueden expresar (considerando la periodicidad de f ) en la forma Z 2 T /2 2πn f (x) cos xdx n = 0, 1, 2, 3, . . . an = T −T /2 T Z 2 T /2 2πn f (x) sen xdx n = 1, 2, 3, . . . bn = T −T /2 T Así, se tiene que: i) Cuando f es par, al calcular los coeficientes an las funciones a integrar son funciones pares, ya que tanto f como los cosenos lo son; sin...