Fourier

Fourier

Prof. Omar Contreras

Serie de Fourier: Cualquier función del tiempo f(t), real, periódica de período T § o frecuencia 1 = 2  / T, continua, puede ser expandida en una serie infinitade senos y cosenos de frecuencias n múltiplos de 1 , es decir, n = n 1, con n=1,2,…,. En forma de ecuación tenemos que
Construcción: Para obtener A0 calculamos el promedio temporal de f(t),sustituyendo la anterior serie en la integral del promedio y tomando en cuenta que el promedio temporal de los senos y cosenos son cero:
El valor de t0 normalmente es cero pero más adelante nos convendrátomarlo como – T/2.
Para calcular los coeficientes Am con m=1,2,…,, calcularemos el promedio de una nueva función f(t) cos( m 1 t):
La primera integral del lado derecho es cero porque es elpromedio de un coseno. Para las siguientes dos podemos considerar que los senos y cosenos son buena gente y permiten intercambiar los signos de sumatoria e integral sin mayores traumas. Entonces calculemosprimero la última integral usando que el producto sen  * cos  se puede escribir como [sen(+)+sen(-)]/2, resultando así dos promedios que se anulan en un período, para todo valor de  y , esdecir para todo valor de n y m, y así ningún Bm saldrá en el resultado.
Para calcular la segunda integral usamos que el producto cos  * cos  se puede escribir como [cos(+)+cos(-)]/2, resultandoasí dos promedios que se anulan en un período, para todo valor de  y , es decir para todo valor de n y m, excepto para el caso n=m que solo se anula el promedio de cos(+), porque cos(-)=cos(0)=1, cuyo promedio es 1.
En resumen, solamente quedará el valor Am/2, o cambiando la letra del índice:
Similarmente obtenemos:
El gráfico de A n y B n en función de n ( o de n)se conoce como el espectro de frecuencias de la función periódica f(t).
Note que la distancia entre dos frecuencias consecutivas es:
 = (n+1) 1 – n 1 = 1 = 2  / T.
Serie de Fourier Compleja:...