Fracción continu1

Fracción continua
En matemáticas, una fracción continua, nombrada también fracción continuada,1 2 es una expresión de la forma:

donde a0 es un entero y todos los demás números ai son enterospositivos, para i= 0, 1, 2,...n,....Los números a0, a1, a2,..., as se llaman elementos o cocientes incompletos.3 Si se permite que los numeradores o los denominadores parciales tomen valores arbitrarios,que podrían ser funciones en algún contexto, la expresión resultante es una fracción continua generalizada. Cuando fuera necesario distinguir la forma típica de arriba de una generalizada aquella sedenominará fracción continua regular o simple.
Índice
1 Motivación
2 Apuntes históricos
3 Cálculo de una fracción continua
4 Notación
5 Formalización
5.1 Reducidas
5.2 Mejores aproximaciones racionales6 Algunos desarrollos notables
6.1 Número
6.2 Raíz cuadrada de 2
6.3 Número áureo
6.4 Número e
7 Aplicaciones
7.1 Irracionalidad del número
7.2 La ecuación de Pell
7.3 Números cuadráticos
8Referencias y notas
9 Véase también
10 Textos para el caso
11 Enlaces externos
Motivación
El motivo del estudio de las fracciones continuas es el deseo de dar una representación «matemáticamente pura» de losnúmeros reales. Estamos familiarizados con la representación decimal:

donde a0 puede ser cualquier entero y los otros ai pertenecen a {0, 1, 2, …, 9}. Así el número , por ejemplo, se representa conla sucesión (3, 1, 4, 1, 5, 9, 2, …).
Esta representación tiene algunos problemas. Por ejemplo, la constante 10 se usa porque los cálculos se hacen en el sistema decimal; bien podría usarse el octal oel binario. Otro problema es que muchos racionales no tienen representación finita; por ejemplo, 1/3 lo hace con la sucesión infinita (0, 3, 3, …).
La representación en fracción continua de losnúmeros reales evita ambos problemas. Por ejemplo, consideremos el número 415/93, que vale aproximadamente 4.4624. Esto es aproximadamente 4, pero es algo mayor que 4, sobre 4+1/2. Pero el denominador 2...