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Cuadernos del CIMBAGE N° 6 (2003) 17-44

LA FAMILIA DE NUMEROS METALICOS
Vera W. de Spinadel
Centro de Matemática y Diseño MAyDI
Facultad de Arquitectura, Diseño y Urbanismo
Universidad de Buenos Aires
E-mail: vspinade@fibertel.com.ar
Recibido 6 de septiembre 2002, aceptado 12 de agosto 2003

Resumen
En este trabajo vamos a

introducir una nueva familia de números irracionalescuadráticos positivos. Se llama familia de números metálicos [1], [2], [3], [4] y su miembro
más importante es el número de oro φ . Entre sus parientes, podemos mencionar el
número de plata, el número de bronce, el número de cobre, el número de níquel, etc. Los
miembros de dicha familia gozan de propiedades matemáticas comunes que son
fundamentales en la investigación actual sobre la estabilidadde macro- y microsistemas físicos, desde la estructura interna del ADN hasta las galaxias astronómicas.
Los resultados más notables de esta nueva investigación son los siguientes:
•

Los miembros de la familia intervienen en la determinación del comportamiento
cuasi-periódico de sistemas dinámicos no lineales, constituyendo una herramienta
invalorable en la búsqueda de rutas universales alcaos.

•

Las sucesiones numéricas basadas en los miembros de esta familia, satisfacen
muchas propiedades aditivas y simultáneamente son sucesiones geométricas, por lo
que han sido utilizadas con frecuencia como base de muchos sistemas de
proporciones.

Palabras clave: desarrollo en fracciones continuas, sucesiones de Fibonacci, caos,
atractor extraño, ecuación logística.

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V. W.de Spinadel./ Cuadernos del CIMBAGE N° 6 (2003) 17- 44

Abstract
In this paper we introduce a new family of positive quadratic irrational numbers. It is
called the Metallic Means family [1], [2], [3], [4] and its most renowned member is the
Golden Mean. Among its relatives we may mention the Silver Mean, the Bronze Mean, the
Cupper Mean, the Nickel Mean, etc. The members of such a familyenjoy common
mathematical properties that are fundamental in the present research about the stability
of macro- and micro- physical systems, going from the internal structure of DNA up to
the astronomical galaxies. The most important results of this new investigation are the
following:
!

The members of this family intervene in the determination of the quasi-periodic
behavior of non lineardynamical systems, being essential tools in the search of
universal routes to chaos.

!

The numerical sequences based on the members of this family, satisfy many additive
properties and simultaneously, are geometric sequences. This unique property has
had as a consequence the use of some Metallic Means as a base for proportion
systems.

Keywords: Continued fraction expansion; Fibonaccisequences; Strange attractor;
Logistic equation.

1. DESARROLLO EN FRACCIONES CONTINUAS DE LOS NÚMEROS
METÁLICOS
Vamos a presentar los miembros de la familia de números metálicos
(FNM) como las soluciones positivas de ecuaciones cuadráticas del tipo

(1.1)

x 2 − px − q = 0 ,

donde tanto p como q son números naturales. Comencemos nuestro
análisis considerando las ecuaciones cuadráticasmás simples

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(1.2)

x 2 −nx −1 = 0
x 2 − x −n = 0

donde n es un número natural. Nótese que para

n =1, ambas

ecuaciones cuadráticas coinciden con la ecuación x 2 − x − 1 = 0 , cuya
solución positiva es el número de oro φ. Para hallar su desarrollo en
fracciones continuas, escribimos la ecuación en la formadividiendo por x tendremos x = 1 +

x2 = x + 1 y

1
. Reemplazando iterativamente
x

este valor de x , finalmente encontramos la siguiente expresión del
número de oro φ
1

φ = 1+
1+

1
1+ O

= [1, 1, 1,....]

Obtendremos sus parientes, o sea los restantes miembros de la FNM
analizando sus desarrollos en fracciones continuas. Si consideramos la
ecuación cuadrática
x 2 − 2x −1 =...