fuerza

Criterios de caracterización de una fuerza conservativa[editar · editar código]

Puede demostrarse que un campo es conservativo si presenta alguna de las propiedades siguientes (de hecho si cumple una de ellas, cumplirá las otras ya que matemáticamente son equivalentes):

Hay un campo escalar V(\mathbf r) con:
(1)\mathbf F(\mathbf r)=-\nabla V( \mathbf r)

donde \nabla V(r) es el gradientedel campo escalar V(r).
El trabajo
(2a)

W=\int_S \mathbf F(\mathbf r) \, \mathrm d \mathbf r

a lo largo de un camino cualquiera S a través del campo de fuerza depende sólo de los puntos inicial y final y no de la trayectoria. En particular, el trabajo por una curva cerrada C es cero, también
(2b)

\oint_C \mathbf F(\mathbf r)\, \mathrm d \mathbf r=0

El campo es simplemente continuoy cumple la condición de integrabilidad:
(3)

\frac{\partial F_k}{\partial x_i} = \frac{\partial F_i}{\partial x_k}. Eso significa que, si la rotación desaparece, también lo hará \nabla \times \mathbf F(\mathbf r) = 0

Un ejemplo de fuerza conservativa es el campo gravitatorio de la mecánica newtoniana. Lo contrario a una fuerza conservativa es una fuerza no-conservativa, que realiza mástrabajo cuando aumenta la longitud del camino recorrido. Un ejemplo de esto es el rozamiento. La mayoría de sistemas físicos son no-conservativos; en ellos la energía se pierde por el rozamiento o por la acción del campo de fuerzas no-conservativas. Un campo no conservativo se puede describir a través de un campo conservativo haciendo algunas consideraciones.

Conservatividad local[editar · editarcódigo]
Cuando se considera el criterio (3) se debe tener precaución, porque el campo de fuerza puede existir, pero la rotación la hace no conservativa. El ejemplo más conocido es el conductor eléctrico, a cuyo campo magnético asociado se lo representa como:


\mathbf F(x,y) = \frac{1}{x^2+y^2}\begin{pmatrix}-y \\ x \end{pmatrix}

Aunque la condición integral se cumple, no existe la derivadaen el punto cero, por lo que la región no es continua. Entonces no se trata de un campo gradiente, como puede distinguir de la integral cerrada de un círculo unitario. El círculo unitario se parametriza mediante


\quad C: \mathbf{r}(\varphi)= \begin{pmatrix}\cos(\varphi) \\ \sin(\varphi) \end{pmatrix}\quad con \quad 0 \leq \varphi < 2\pi .

Con eso la integral cerrada es:


\int_C\mathbf{F} \cdot \mathrm{d}\mathbf{r} = \int \mathbf{F}(\mathbf{r}(\varphi)) \cdot \mathbf{r}'(\varphi) \mathrm{d}\mathbf{\varphi}= \int_0^{2\pi} \begin{pmatrix}-\sin(\varphi) \\ \cos(\varphi) \end{pmatrix} \begin{pmatrix}-\sin(\varphi) \\ \cos(\varphi) \quad\end{pmatrix}\mathrm{d}\mathbf{\varphi} =\int_0^{2\pi} 1 \mathrm{d}\mathbf{\varphi}=2\pi\neq 0

Es un campo no conservativo, ya que integral a lolargo de una curva cerrada como lo es una circunferencia de radio 1 centrada en el origen es diferente de cero.

Potencial[editar · editar código]
El campo escalar V(r)\, del criterio (1) se llama potencial o energía potencial. El signo menos de este criterio es una convención y tiene un significado profundo, a pesar que su significado fue argumentado en el principio variacional de la mecánicalagrangiana y, por el momento, opera de forma voluntaria. La base de esa convención se puede aclarar por medio del siguiente ejemplo: en la cercanía de la superficie terrestre está la masa m en un potencial gravitacional a una altura h=y bajo una aceleración de la gravedad g > 0, aproximadamente v(y)= + m g y. Debido al sistema de coordenadas en la superficie terrestre es positivo cuando sedirige hacia arriba, debe ser negativo cuando se dirige hacia abajo. Se calcula la fuerza del primer criterio y se obtiene:


\mathbf F (y) = - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y} V(y) =
-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y} mgy = - m g

Esto muestra que la fuerza se ejerce, tal como se esperaba, en dirección al centro de la Tierra.

Demostración de equivalencia de los criterios[editar · editar...