función creciente y decreciente

Definición funciones crecientes y decrecientes
Una función f es creciente es un intervalo si para cualquier par de números x1,x2 del intervalo..
Una fución f es decreciente es un intervalo si paracualquier par de números x1,x2 del intervalo, .
Sea f una función continua con ecuación y = f(x), definida en un intervalo [a,b]. La siguiente es la representación gráfica de f en el intervalo[a,b].En la gráfica anterior puede observarse que la función f es:
1.) Creciente en los intervalos (a,x3),(x5,x6)
2.) Decreciente en los intervalos(x3,x5),(x6,b)
Criterio de crecimiento y decrecimientoSea f una función continua en el intervalo cerrado y derivable en el intervalo abierto .
Si es creciente en
Si es decreciente en
Si es constante en
Ejemplo 1
Determinemos los intervalosen que crece o decrece la función con ecuación f(x) = 1 / 2(x2 − 4x + 1).
Para ello calculemos la primera derivada de f:f'(x) = x − 2.
Como f'(x) > 0 ↔ x − 2 > 0, o sea si x > 2, entonces f escreciente para x > 2.
Como f'(x) < 0 ↔ x − 2 < 0, o sea si x < 2, entonces f es decreciente para x < 2.
En la gráfica de la función puede observarse lo obtenido anteriormente.

Ejemplo 2
Determinarlos intervalos en que crece o decrece la función f con ecuación f(x) = (x + 1) / (x − 1), con x ≠ 1.
La derivada de f es f'(x) = − 2 / (x − 1)2.
Como (x − 1)2es mayor que cero para x en los Reales, x≠ 1, y además − 2 < 0entonces f'(x) < 0para todo x en los Reales (x ≠ 1), por lo que la función f es decreciente para x en los Reales, x ≠ 1 . La siguiente, es la gráfica de dicha función:

Ejemplo 3Determine en cuáles intervalos crece o decrece la función con ecuación f(x) = x2 + (1 / x2) con x ≠ 0.
La derivada de f está dada por f'(x) = 2x − (2 / x3) que puede escribirse como f'(x) = [2(x −1)(x + 1)(x2 + 1)] / x3
Como 2(x2 − 1) es positivo para toda x en los Reales entonces: f'(x) > 0 ←→ [(x − 1)(x + 1)] / x3 > 0 y
f'(x) < 0 ←→ [(x − 1)(x + 1)] / x3 < 0
Para resolver estas...