Funciones Crecientes Y Decrecientes

Funciones Crecientes y Decrecientes.
El criterio de la Primera derivada


Definición de Funciones Crecientes y Decrecientes.














Figura2
Una función es creciente en un intervalo si para todo par de números [pic]y [pic] en el intervalo
[pic] implica [pic]

Una función es decreciente en un intervalo si para todo par de números [pic]y [pic] en el intervalo,
[pic]implica [pic]



Criterio de la Primera derivada


Criterio de la Primera derivada para Funciones Crecientes y Decrecientes


Sea [pic] una función derivable en el intervalo abierto [pic].
1. Si [pic] para todo [pic]en [pic], entonces [pic] es creciente en [pic].
2. Si [pic] para todo [pic]en [pic], entonces [pic] es decreciente en [pic].
3. Si [pic] para todo [pic]en [pic],entonces [pic] es constante en [pic].

Estrategia para hallar los intervalos donde una función es creciente o decreciente


Sea [pic] una función continua en el intervalo [pic]. Para hallar los intervalos en los que [pic] es creciente o decreciente, es conveniente seguir estos pasos:
1. Localizar los números críticos de [pic] en [pic], los cuales delimitan unos intervalos de prueba.
2.Determinar el signo de [pic] en un valor [pic] de cada uno de esos intervalos prueba.
3. Usar el criterio de la primera derivada para decidir si f es creciente o decreciente en cada uno de esos intervalos.

Criterio de la primera derivada para los Extremos Relativos.


Sea [pic] un número crítico de una función [pic] continua en un intervalo abierto [pic]que contiene a [pic]. Si [pic] esderivable en el intervalo, excepto quizá en [pic] puede clasificarse cono sigue:
1. Si [pic] cambia de negativa a positiva en [pic] es un mínimo relativo de [pic].
2. Si [pic] cambia de positiva a negativa en [pic] es un máximo relativo de [pic].
3. Si [pic] no cambia su signo en [pic] no es ni mínimo, ni máximo relativo.

[pic]


Figura 3


Funciones estrictamente monótonasUna función se dice estrictamente monótona en un intervalo si es creciente en todo el intervalo o si es decreciente en todo el intervalo. Por ejemplo la función [pic] es estrictamente monótona en toda la recta real porque es creciente en toda la recta, según vemos en la figura 4.


Ejemplo 3

Hallar los intervalos abiertos en los que es creciente o decreciente la función [pic], losextremos relativos y realizar la gráfica.


Paso 1

Obtener los números críticos
Primero se obtiene la primera derivada y después esta se iguala a 0 y a [pic] para obtener los números críticos.
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic] [pic]
[pic] [pic]
[pic]
No hay números críticos ya que el valor que hace posible que [pic] es el valor de [pic] el cual no se considera como un númerocrítico.
Por lo tanto los números críticos son [pic] y [pic]
Estos valores son los que delimitan los intervalos de prueba para saber donde la función es creciente o decreciente.

Recomendación: Traza la recta de los números reales y ubica en ella únicamente los valores de los números críticos encontrados, con ello te podrás dar cuenta en cuantos intervalos queda dividida y estos serán losintervalos con los que trabajaras para analizar donde la función, crece o decrece.



Por lo tanto los intervalos que se van a utilizar son: [pic]; [pic]; [pic]

Paso 2

Determinar el signo de [pic] en un valor [pic] de cada uno de esos intervalos prueba.
Para determinar el signo de la derivada en cada uno de estos intervalos solo es necesario utilizar un número que este dentro de cadaintervalo sin que sean los puntos frontera de estos (valor inicial y final del intervalo).

De [pic] el valor de prueba puede ser cualquier valor menor que 0, utilizaremos el -1 por ser el más pequeño.

Este valor se puede remplazar tanto en la derivada normal como en la factorizada y solamente nos interesa el signo que se obtenga no el valor.
[pic]
[pic]
[pic]
[pic],
[pic]
[pic]

De...