Función lineal

Fatela
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MATEMÁTICA: GUÍA º 9 “Función Lineal”
LA FU CIÓ LI EAL O AFÍ : La función más simple en la matemática es la función lineal o de primer grado, donde la incógnita x aparece sólo elevada a la primera potencia. Su forma general es: y= m.x+b Ordenada al origen pendiente La representación gráfica de esta función es una línea recta. Donde “m” es un número constante llamado"pendiente de la recta" y “b” es otro número constante llamado "ordenada al origen". Significado de la Ordenada al Origen "b": y = f(x) = m. x + b f(0) = m. 0 + b ⇒ La ordenada al origen "b" es el valor que toma la función “y” cuando “x” vale cero

f(0) = b

Gráficamente la ordenada al origen "b" es el punto donde la recta corta al eje "y". O sea que es la ordenada que le corresponde al origende las abscisas (x = 0). Significado de la Pendiente "m": Si P2 (X2;Y2) ∈ f(x) ⇒ Si P1 (X1;Y1) ∈ f(x) ⇒ Y2 = m . X2 + b Y1 = m . X1 + b

Y2 − Y1 = m . X2 + b − (m . X1 + b) Y2 − Y1 = m . X2 + b − m . X1 − b Y2 − Y1 = m . (X2 − X1) ⇒

Y2 − Y1 ∆y =m= X 2 − X1 ∆x

La pendiente "m" indica la variación de la función "∆y" por unidad de variación de la variable independiente "x"
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La pendiente “m”, como su nombre lo indica refleja la inclinación de la recta. Representación gráfica de la recta sin hacer tabla de valores. Siempre es posible representar una recta sin necesidad de hacer la tabla de valores. Para ello se procede así: 1) Se ubica la ordenada al origen "b" en el eje “y”, con lo cual se obtiene un punto de la recta.2) A partir de este punto se “corren” tantas unidades como marca el denominador de la pendiente "∆x" hacia la derecha y luego se “suben” o “bajan” tantas unidades como marca el numerador de la pendiente "∆y", dependiendo del signo positivo o negativo de la misma. Así se halla un segundo punto de la recta, que al unirse con el primero permite trazar la recta. Por ejemplo: y = 2.x + 1 b = f(0) = 1m=2=

y 5
4 3 2 1 ∆y = 2 ∆x =1 1 2 3 4 5

2 ∆y = 1 ∆x

Ordenada al Origen b = 1

∆y m= ∆x

x

0

El signo de la pendiente determina si la recta es creciente o decreciente: Si la pendiente es positiva (+) la función es creciente, lo cual significa que si aumentamos la “x” en un cierto "∆x", la “y” también aumentará en un cierto "∆y". Si la pendiente es negativa (−) la función serádecreciente y por tanto ante un aumento de la “x” habrá una disminución de la “y”. Algunas rectas son de la forma “y = b”, lo cual implica que la pendiente “m” es cero pues no aparece el término “m.x”. Esta es la llamada función constante y su gráfica es una recta horizontal la cual no es ni creciente ni decreciente sino estacionaria. También hay rectas del tipo “y = m.x” en las cuales la ordenadaal origen es cero, “b = 0”. Estas rectas pasan por el origen de coordenadas, o sea por el punto (0,0). Por último se puede considerar a las rectas verticales, si bien no son funciones desde el punto de vista matemático (pues no cumplen las
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condiciones de existencia y unicidad). Tienen la forma “x = c”, siendo “c” un númeroconstante cualquiera. Todos estos casos particulares de rectas se ejemplifican a continuación:
y= 2 x +1 3
3 y =− x+4 4

y=

1 x 4

y=2

x=7

6 5 4 3 2 1 0

y

x
1 2 3 4 5 6 7 8 9

Á GULO DE I CLI ACIÓ

DE U A RECTA :

El ángulo de inclinación de una recta es el ángulo formado entre el eje x (en su sentido de crecimiento) y la recta, medido en sentido antihorario o positivo. RectaCreciente “α” es agudo α m > 0 (+) y α ∆y ∆x α x x α y Recta Decreciente “α” es obtuso α m < 0 (−)

m = tg (α) =

∆y ∆x

La pendiente "m" es igual a la tangente trigonométrica del ángulo de inclinación.
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La recta que tiene un ángulo de inclinación de 90º (recta vertical), no es función pues no cumple las condiciones de...