Función Lineal

Función Lineal

Una expresión del tipo:
y = a.x + b (1)

donde la variable independiente x está elevada a la primera potencia, y siendo a y b constantes, se denomina función lineal.

En el caso particular que b = 0, resulta:

y = a.x (2)

La expresión (2) indica que existe una proporcionalidad directa entre los valores de la variable independiente y la dependiente, de modo que si serepresenta la misma en un sistema de coordenadas cartesianas, la gráfica resultante es una linea recta.

Ejemplo: representar gráficamente la función lineal y = 3.x

Calcularemos una serie arbitraria de pares de puntos tales como los que se muestran en la tabla 1 y los representamos en el plano cartesiano.

Volviendo sobre la expresión general de la función lineal (1), se observa que en casode que la constante b sea distinta de 0, el valor de aquella resultará aumentado o disminuido, según sea b positiva o negativa. En cada caso, la gráfica de la función resultará desplazada paralela a si misma, en sentido vertical, hacia arriba si b es positiva o hacia abajo en el caso contrario.

Ejemplo: representar gráficamente las funciones:

y1 = 2x + 3
y2 = 2x
y3 = 2x- 2




Finalmente, dado que la constante a de (1) representa la relación de proporcionalidad de las variables independiente y dependiente, de su valor resultará una mayor o menor inclinación de la gráfica de la función.

Ejemplo: representar gráficamente las funciones:

y1 = 0,5 x
y2 = 2 x
y3 = 3 x

Pendiente

Se denomina Pendiente (m) de R en P0 (Fig. 1.a) alcociente:

m = Δy/Δx (3)

En la Fig. 1.b se representan tres rectas con diferente inclinación que tienen en común el punto P0 ( x0 , y0 ).

Considerando el mismo intervalo sobre el eje de las abscisas:

Δx1 = Δx2 = Δx3

De la gráfica resulta evidente que:

Δy3 > Δy2 > Δy1

y por consiguiente:

Δy3 / Δx1 > Δy2 / Δx2 > Δy1 / Δx3


m3 > m2 > m1

El valor de lapendiente es indicativo de la mayor o menor inclinación de la recta en relación al eje de las abscisas.

Consideremos el caso representado en la figura 2. En el sentido creciente del eje de abscisas, la recta R1 tiene inclinación ascendente, la R2 es horizontal y la R3 tiene inclinación descendente.

Si ahora se calcula el valor de la pendiente (3) resulta, en términos generales:

Δy1 > 0 Δy2 = 0Δy3 < 0

y por consiguiente:

Δy1 / Δx3 > 0 Δy2 / Δx2 = 0 Δy3 / Δx1 < 0

y
m1 > 0 m2 = 0 m3 < 0

Cálculo de la pendiente a partir de la ecuación general

A partir de la ecuación general de la recta (1):
y = a.x + b
vamos a calcular su pendiente aplicando la definición (3) (referirse a la figura 1.a):
y0 = a.x0+b
y1 = a.x1+b
y1 - y0 = (a.x1+b) - (a.x0+b) = a.x1 + b - a.x0 - b =a.(x1-x0)
m = Δy/Δx = (y1 - y0) / (x1 - x0) = a.(x1-x0) / (x1-x0) = a (4)
De la expresión (4) resulta entonces que el valor de la pendiente m de una recta coinciden con el del coeficiente a de la ecuación general (1).

Gráfica de la función lineal
Para trazar la gráfica de una función lineal resulta de utilidad tener en cuenta las siguientes consideraciones:
1. Haciendo x = 0 en laecuación general (1) resulta:
y = a.x + b = 0.x + b = b (5)
De la expresión (5) se puede observar que el punto (0 , b) siempre pertenece a la recta y constituye la intersección de su gráfica con el eje de las ordenadas, por lo cual la constante b se denomina ordenada al origen.
Como ya fuera dicho, la constante b también representa un desplazamiento vertical de la gráfica de la función linealrelativa a la de la misma función cuando b = 0.
2. Hemos demostrado ya que la constante a de la ecuación general coincide con la pendiente de su gráfica, la cual es positiva para una recta ascendente, nula para una recta horizontal y negativa para una descendente.
Resulta de utilidad para el trazado de la gráfica de una función lineal tener como referencia la correspondiente a dos rectas...