funcion gama y beta


En matemáticas, la función Gamma: G(z) es una función que extiende el concepto de factorial a los números complejos. La notación fue ideada por Adrien-Marie Legendre. Si la parte real del númerocomplejo z es positivo, entonces la integral

converge absolutamente, esta integral puede ser extendida a todo el plano complejo excepto a los enteros negativos y al cero.
Si n es un enteropositivo, entonces

lo que nos muestra la relación de esta función con el factorial. De hecho, la función Gamma generaliza el factorial para cualquier valor complejo de n.
La función Gamma aparece envarias funciones de distribución de probabilidad, por lo que es bastante usada tanto en probabilidad y estadística como en combinatoria.
Figura N°1.La función Gamma



Si la parte real del númerocomplejo z es positiva (Re[z] > 0), entonces la integral:

converge absolutamente. Usando la integración por partes, se obtiene la siguiente propiedad:

Esta ecuación funcional generaliza larelación n! = n(n - 1)! del factorial. Se puede evaluar G(1) analíticamente:

Combinando estas dos relaciones se obtiene que el factorial es un caso especial de la función Gamma:

para los númerosnaturales n.
La función Gamma es una función meromorfa de con polos simples en y residuos 


En matemáticas, la función beta es una función especial estrechamente relacionada con la funcióngamma. Fue estudiada originalmente por Euler y Legendre. No obstante, su nombre le fue dado por Jacques Binet.
Dada una función f, muchas veces es útil expresar f (x + y) en términos de f (x) y f (y).Por ejemplo, para la exponencial se tiene

Este análisis, aplicado a la función gamma, conduce a la definición de la función beta. Para  e , dos números complejos, con sus partes reales positivas,consideremos el producto :

Para escribir esta integral doble en coordenadas polares, hagamos primero el cambio de variables  y :

Pasando a coordenadas polares ,  esta integral doble arroja...