funciones gamma y beta






FUNCIONES GAMMA Y BETA



l. LA FUNCIÓN GAMMA. PROPIEDADES ELEMENTALES.
La función Gamma fue definida por Euler mediante





donde la condición x>O es exigida para laconvergencia de la integral.
(1)

En vez de una rigurosa demostración de la convergencia, se justificará ésta mediante el siguiente razonamiento:
Se tiene que e-ttx-1 O cuando x oo, de manera que nose esperan
inconvenientes en el límite superior de la integral. Cerca del límite inferior
t=O, el integrando se aproxima a tx-1 ya que e-t l. De esta manera




y para que el primer términode la derecha permanezca finito, se debe tener
x>O.
De la definición ( 1) es fácil ver que



y
r(l/2) = foco e-tr 112 dt = 2 a= e-u2 du = 2 ( ) =
l
(Resultado conocido)


Una relaciónbásica de la función Gamma es

r(x + 1) = xr(x)

la cual se deduce a partir de (1) e integrando por partes, como sigue:



(2)








r(x + 1) - 100 e-ttx-ldt
[- :+X 1oo e-ttx-ldt
o= xr(x)

La fórmula (2) juega un papel importante en el cálculo de valores de la función Gamma.
Si se toma x=n (n entero positivo) y se usa (2) repetidamente, se tiene
que


r(n + 1)nf(n)
n(n- 1)f(n- 1)
n(n- 1)(n- 2)f(n- 2)







- n(n- 1)(n- 2) · · · ·1 · f(1)


esto es



r(n + 1) = n! (3)


Esta última expresión puede usarse para definir O!, si se aplica paran=O,
obteniéndose

O!= f(1) = 1

Análogamente, para n entero positivo, se observa que










r(n + 1/2) - (n- 1/2)r(n- 1/2) '
1
- (n- 1/2)(n- 3/2)r((n- 3/2)







-(n- 1/2)(n- 3/2)(n- 5/2) ... ·1/2. r(1/2)

(2n; 1) (2n; 3) (2n; 5) ... · J1f


de donde



r(n + 1/2) = 1·3 · 5 · · · ·(2n - 1) J1f




(4)


La flmción Gamma satisface





Enefecto:

r(x)r(1- x) = , Ü O (9)
y>O




y al sustituir esta expresión en (9), se tiene que


B(x, y)

Si en la integral respecto a u se usa de nuevo (6), se tiene que



B(x, y)...