Funcion Gamma Y Beta

TEMA II: FUNCIONES GAMMA Y BETA

1.

La funci´n Gamma de Euler o

Definici´n: La funci´n Gamma de Euler Γ : (0, +∞) −→ R est´ definida por o o a Γ(x) =
+∞ 0+

tx−1 e−t dt;

x ∈ (0, +∞)

Lasiguiente proposici´n demuestra la validez de la definici´n dada. o o Proposici´n: La integral o Demostraci´n: o
+∞ 0+ +∞ 0+

tx−1 e−t dt es convergente para x > 0.
1 0+

tx−1 e−t dt =

tx−1e−t dt +

+∞ 1

tx−1 e−t dt

veamos que el primer sumando, I1 , es convergente para para x > 0 y el segundo, I2 , para todo x ∈ R. Si x ≥ 1, I1 es convergente puesto que su integrando es unafunci´n continua, y por tanto, o integrable en [0, 1]. Si 0 ≤ x ≤ 1 ocurre que ∀t > 0, 0 < tx−1 e−t < tx−1 y la integral convergente para 0 < x < 1. Por otra parte tx−1 e−t tx+1 = lim =0 t→+∞ t→+∞ et t−2 limy como
+∞ 1 1 0+

tx−1 dt es

t−2 dt es convergente, entonces I2 es convergente.

Proposici´n: Para todo x > 0, se tiene Γ(x + 1) = xΓ(x). o Demostraci´n: Sean α y β dos n´meros reales talesque 0 < α < β, integrando por partes o u (u = tx ; dv = e−t dt) en la siguiente integral
β α

tx e−t dt = αx e−α − β x e−β + x

β α

tx−1 e−t dt

tomando l´ ımite cuando α → 0+ y β → +∞ enambos lados de la igualdad, obtenemos la igualdad deseada. Corolario: Si n ∈ N, entonces Γ(n + 1) = n!. 1

Demostraci´n: Compru´bese que Γ(1) = 1 y apl´ o e ıquese inducci´n. o La f´rmula Γ(x + 1) =xΓ(x) nos permite conocer el valor de la funci´n ∀x > 0, conociendo tan o o s´lo su valor sobre el intervalo (0, 1]. Adem´s permite extender la definici´n de Γ(x) para los x < 0, o a o con x = −1, −2,−3, ..... Por ejemplo si x ∈ (−1, 0) Γ(x) = y as´ sucesivamente. ı Propiedades: • Γ(x)Γ(1 − x) = π sen(πx) Γ(x + 1) ; x x + 1 ∈ (0, 1)

√ 1 • 22x−1 Γ(x)Γ(x + ) = πΓ(2x) (f´rmula de duplicaci´n) o o 2 √1 • Γ( ) = π 2 •
∞ x 1 x = xeγx {(1 + )e− m } (γ ≡ constante de Euler). Γ(x) m m=1

Ejercicios 1. Calcular a) 2. Calcular las integrales a)
∞ 0

Γ(3)Γ(2 5) ; Γ(5 5)

1 b) Γ(− ); 2

5...