Funcion lineal

Aplicación lineal

En matemática una aplicación lineal (también llamada función lineal, transformación lineal u operador lineal) es una aplicación entre dos espacios vectoriales, que preserva las operaciones de suma de vectores y producto por un escalar. El término función lineal se usa también en análisis matemático y en geometría para designar una recta, un plano, o en general una variedadlineal.
En álgebra abstracta una aplicación lineal es un homomorfismo entre espacios vectoriales o en el lenguaje de la teoría de categorías un morfismo sobre la categoría de los espacios vectoriales sobre un cuerpo dado.
Definición

Se denomina aplicación lineal, función lineal o transformación lineal a toda aplicación cuyo dominio y codominio sean espacios vectoriales que cumpla la siguientedefinición:
Sean V y W espacios vectoriales sobre el mismo espacio o campo K, y T una función de V en W. T es una transformación lineal si para todo par de vectores u y v pertenecientes a V y para todo escalar k perteneciente a K, se satisface que:


donde k es un escalar.

Ejemplos:

Transformación lineal identidad



Homotecias

con

Si k > 1 se denominan dilatacionesSi k < 1 se denominan contracciones

Propiedades de las transformaciones lineales

Sean y espacios vectoriales sobre (donde representa el cuerpo) se satisface que:
Si es lineal, se define el núcleo y la imagen de T de la siguiente manera:


Es decir que el núcleo de una transformación lineal está formado por el conjunto de todos los vectores del dominio que tienen por imagen alvector nulo del codominio.
El núcleo de toda transformación lineal es un subespacio del dominio:

dado que

Dados


Dados



Se denomina nulidad a la dimensión del núcleo.
O sea que la imagen de una transformación lineal está formada por el conjunto de todos los vectores del codominio que son imágenes de al menos algún vector del dominio.

La imagen de toda transformaciónlineal es un subespacio del codominio.
El rango de una transformación lineal es la dimensión de la imagen.

una funcion lineal es la correspoendecia

Teorema fundamental de las transformaciones lineales

Sea B = {v1,v2,v3,...vn} base de V y C = {w1, w2, w3,...wn} un conjunto de n vectores de W no necesariamente distintos, entonces existe una única transformación lineal.Clasificación de las transformaciones lineales

Monomorfismo: Si es inyectiva, o sea si el único elemento del núcleo es el vector nulo.

Epimorfismo: Si es sobreyectiva (exhaustiva).

Isomorfismo: Si es biyectiva (inyectiva y exhaustiva).

Matriz asociada a una transformación lineal
Una matriz asociada es la matriz formada por las coordenadas de los elementos de una base.

Dada T: V → W, con B= {v1, v2, v3, ..., vn} y C = {w1, w2, w3, ..., wp} bases de V y W respectivamente, llamamos coordenadas de v1 en base C, al vector formado por los coeficientes de los elementos de C que usamos para llegar al transformado de v1.

T(v1) = a1.w1 + a2.w2 + ... + ap.wp

Entonces:

coordC(v1) = (a1, a2,..., ap)

Y la matriz asociada a T, en las bases B y C, es la matriz res/sub>(v2), ...,coordC(vn))

Álgebra lineal
El álgebra lineal es la rama de las matemáticas que estudia conceptos tales como vectores, matrices, sistemas de ecuaciones lineales y en un enfoque más formal, espacios vectoriales, y transformaciones lineales.
Es un área activa que tiene conexiones con muchas áreas dentro y fuera de las matemáticas como análisis funcional, ecuaciones diferenciales, investigación deoperaciones, gráficas por computadora, ingeniería, etc.

La historia del álgebra lineal moderna se remonta a los años de 1843 cuando William Rowan Hamilton (de quien proviene el uso del término vector) creó los cuaterniones; y de 1844 cuando Hermann Grassmann publicó su libro Die lineale Ausdehnungslehre
Conceptos básicos
Representación gráfica de la suma de dos vectores en R2
Para ilustrar...