Funcion Par E Impar Inyectiva Y Sobreyectiva

Función par e impar
Una función par es cualquier función que satisface la relación
del dominio de f entonces -x también.

y si x es

Desde un punto de vista geométrico, una función par es simétrica con respecto al eje y, lo
que quiere decir que su gráfica no se altera luego de una reflexión sobre el eje y.
Ejemplos de funciones pares son el valor absoluto, x2, x4, cos(x), y cosh(x).
La mejormanera de ver esto es gráficamente:

La función cuadrática al girar alrededor del eje y tiene la misma grafica la función, es decir
la función es par.
Toda función cuadrática de la forma y=ax² si está situada en el eje y es par, si la función se
desplaza hacia la derecha o hacia la izquierda deja de ser par y se convierte en función
impar.
La función coseno también es par, y si se desplaza hacia laderecha o hacia la izquierda
siempre que el desface sea de 180 grados o pi radianes. Esto se debe a que la función
coseno es periodica, si se cambia la frecuencia de la función coseno también deberá variar
la distancia a la que su desface le permitirá tener siempre la misma grafica alrededor del eje
y.ejemplo para cos(2x) el desface para que sea par será 90 grados o pi/2

La función valor absolutoen el origen es par, y toda función valor absoluto que este dentro
de este eje será par por ejemplo y= ‫׀‬x‫׀‬+2 , y = ‫׀‬x‫׀‬-3

Si se desplaza hacia la derecha o hacia la izquierda la función dejara de ser par

Definición formal

El término función par suele referirse a una clase especial de funciones de variable real:
una función
es una función par si para
se cumple la siguiente
relación:

Ladefinición anterior puede generalizarse a funciones sobre dominios más generales. Si A
es un conjunto con cierta estructura algebraica en la que existan inversos aditivos (por
ejemplo, los números complejos C), una función par sería toda función:

que cumpla:

La definición de función par presupone que si
de no ser así no se podría definir

.

Ejemplo
La función:

es par ya que para cualquiervalor de x se cumple:

Demostrando que la función es par.
Si x=2, entonces:

Funciones impares

entonces necesariamente

,

Gráfica de una función impar
Una función impar es cualquier función que satisface la relación:

para todo x en el dominio de f.
Desde un punto de vista geométrico, una función impar posee una simetría rotacional con
respecto al origen de coordenadas, lo que quiere decir que sugráfica no se altera luego de
una rotación de 180 grados alrededor del origen.
Ejemplos de funciones impares son x, x3, seno(x), sinh(x), y la erf (x).
La función:

también es impar, ya que:

en este caso la función no está definida en el punto
Si vemos la función:

Podemos ver que:

.

Y esta función si pasa por el punto (0,0).
Por ejemplo las funciones lineales son funciones impar.
Ya que algirar la recta para el otro lado no es igual

La función cubica y=x³ es impar

La función exponencial y la función logarítmica son impares

La función racional es impar

Las funciones de la forma f(x) = 1/x es impar

La función senosoidal trigonométrica y=sen(x) es impar

Para las funciones especiales como el entero mayor, función impulso y otras, se usan estas mismas
reglas para determinar si sonpares o impares.

Función inyectiva
Se dice que una función es inyectiva si a un elemento del dominio de la función le corresponde un
solo valor del rango y.
Por ejemplo la función lineal y=x es una función inyectiva a todo lo largo de su dominio

De hecho toda función lineal de la forma y=ax+b es inyectiva. Siempre que la función sea continua.
Hay funciones por tramos que tienen parte de lafunción que es inyectiva , pero otras partes de
esa función no lo son.
Las funciones de valor constante no son inyectivas ya que todos los valores x les corresponde un
único valor de y, por ejemplo f(x)= 4 , para cualquier valor de x siempre se obtendrá 4.
Usando esta misma definición la función exponencial y la función logarítmica son inyectivas ya que
para su dominio tienen un valor único en y....